Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Справедливо следующее утверждение.
Т
ЕОРЕМА 11. Предположим, что функция
F
имеет в некоторой ок-
рестности точки
00
(, )xy
непрерывные частные производные
F
x
∂
∂
,
F
y
∂
∂
и
выполняются следующие условия:
00
(, )0Fx y =
,
00
(, )
0
Fx y
y
∂
≠
∂
. Тогда су-
ществует прямоугольник
00
{( , ) :| | , | | }xy x x y y
αβ
−≤ −≤
, в котором функ-
ция
(, )
F
xy
y
∂
∂
нигде не обращается в ноль и уравнение
(, ) 0Fxy =
определя-
ет
как неявную функцию от
x
. Последняя функция является непрерыв-
но дифференцируемой на интервале
00
(,)xx
αα
−+
и ее производная мо-
жет быть найдена по формуле
( , ( ))
() .
( , ( ))
F
xfx
x
fx
F
xfx
y
∂
−
∂
′
=
∂
∂
Мы опускаем доказательство этой теоремы. Поясним только ее фор-
мулировку. Теорема утверждает, что для любого
00
[,]xx x
αα
∈− +
урав-
нение
(, ) 0Fxy =
с неизвестной
имеет единственное решение
, при-
надлежащее отрезку
00
[,]yy
ββ
−+
. Обозначим эту функцию следующим
образом:
()y fx=
. Теорема утверждает, что эта функция непрерывно диф-
ференцируема во всех внутренних точках отрезка
00
[,]xx
αα
−+
. Из усло-
вия
00
(, )0Fx y =
следует, что выполняется равенство
00
()fx y=
, то есть
график этой функции проходит через точку
00
(, )xy
.
Покажем, как выглядят эти условия в случае окружности на плоско-
сти.
Рассмотрим уравнение
(, ) 0Fxy =
, где
22
(, ) 1Fxy x y=+−
. Функ-
ция
F
имеет непрерывные производные во всех точках плоскости. Урав-
нение
(, ) 0Fxy =
задает единичную окружность. Имеет место равенство
Глава 1
40
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы