Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

чения
y
, для которых выполняется соотношение
(, ) 0Fxy=
. Подчеркнем,
что отмеченные свойства имеют место для любого прямоугольника с цен-
тром в точке
( 1, 0)−
.
Вернемся к формулировке теоремы и выведем формулу для нахож-
дения производной неявной функции. При выполнении ее условий найдет-
ся единственная функция
()y fx=
,
00
x xx
αα
−≤≤ +
, такая, что для всех
значений
x
из указанного промежутка выполняется соотношение
( , ( )) 0.Fxfx =
Если
00
x xx
αα
−<< +
, то функция
f
непрерывно дифференцируема.
Дифференцируя тождественное соотношение
по
x
при
00
x xx
αα
−<< +
, получаем:
()
( , ( )) 0, ( , ( )) ( , ( )) 0.
d F F df x
Fxfx xfx xfx
dx x y dx
∂∂
≡+ ≡
∂∂
Отсюда, разрешая последнее соотношение относительно
()fx
′
, находим
искомую формулу.
П
РИМЕР. Доказать, что для уравнения
3 532
2 3 5 7 30xy y x x x− − + − +=
выполняются условия теоремы в точке
(2,1)
. Найти производную неявной
функции
()y yx=
.
Р
ЕШЕНИЕ. Имеем соотношения
3 532
2
1
(2 3 5 7 3) 0
x
y
xy y x x x
=
=
−− + −+ =
,
3 532 34
2
2
1
1
(2 3 5 7 3) (2 5 ) 11 0
x
x
y
y
xy y x x x x y
y
=
=
=
=
∂
−− + −+ = − =≠
∂
.
Отсюда следует, что существует прямоугольник с центром в точке
(2,1)
,
для которого справедливо утверждение теоремы о неявной функции. Учи-
тывая, что
Глава 1
42
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы