Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

00 00
(0)(, ) (, ).
ff
F x xy y x x xy y y
xy
∂∂
′
= +∆ +∆ ⋅∆ + +∆ +∆ ⋅∆
∂∂
Далее находим:
2
2
00
2
() ( , ) ( )
f
Ft xtxyty x
x
∂
′′
= +
⋅∆ + ⋅∆ ⋅ ∆ +
∂
22
2
00 00
2
2(, ) (, )().
ff
xtxyty xy xtxyty y
xy
y
∂∂
+ + ⋅∆ + ⋅∆ ⋅∆ ∆ + + ⋅∆ + ⋅∆ ⋅ ∆
∂∂
∂
По причинам, аналогичным указанным выше, функция
()Ft
′′
непрерывна
на отрезке
[ 1,1]−
. Кроме того, имеет место равенство
2
2
00
2
(0) ( , ) ( )
f
F x xy y x
x
∂
′′
= +∆ +∆ ⋅ ∆ +
∂
22
2
00 00
2
2(, ) (, )().
ff
x xy y x y x xy y y
xy
y
∂∂
+ +∆ +∆ ⋅∆ ∆ + +∆ +∆ ⋅ ∆
∂∂
∂
Так же доказывается, что и следующие производные функции
F
вплоть до
производной порядка
непрерывны на указанном отрезке. Применяя к
функции
F
формулу Тейлора в точке
с остаточным членом в форме
Лагранжа, получаем:
( ) ( 1)
2
(0) (0) (0) ( )
( ) (0)
1! 2! ! ( 1)!
nn
n
F F F Ft
Ft F t t t
nn
θ
+
′ ′′
= + + ++ +
+
для некоторого
θ
,
01
θ
<<
. Отсюда находим:
( ) ( 1)
(0) (0) (0) ( )
(1) (0) .
1! 2! ! ( 1)!
nn
FF F F
FF
nn
θ
+
′ ′′
= + + ++ +
+
(∗∗)
Подставляя сюда найденные выше значения
,
(0)F
,
(0)F
′
,
(0)F
′′
, на-
ходим первые три члена формулы Тейлора для функции двух переменных:
0 0 00
( , ) (, )fx xy y fx y+∆ +∆ = +
00 00
(, ) (, )
ff
x xy y x x xy y y
xy

∂∂
+ +∆ +∆ ⋅∆ + +∆ +∆ ⋅∆ +

∂∂

Глава 1
44
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы