ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3 532 2 2
(2 3 5 7 3) 6 9 10 7xy y x x x xy x x
x
∂
−−+−+= −+−
∂
,
из формулы для нахождения производной находим, что
22
34
6 9 10 7
() .
25
xy x x
yx
xy
−+−
′
= −
−
11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных
Предположим, что функция
(, )u f xy=
определена в некоторой ок-
рестности
U
точки
000
(, )Mxy
и имеет в этой окрестности непрерывные
частные производные вплоть до порядка
1n +
включительно. Зададим
приращения
x∆
,
y∆
независимых переменных
x
и
y
, обладающие сле-
дующим свойством: для любого
t
,
11t−≤≤
точка
00
(, )xtxyty+ ⋅∆ + ⋅∆
принадлежит окрестности
U
. Рассмотрим функцию
00
( ) ( , ), 1 1.Ft fxtxyty t= + ⋅∆ + ⋅∆ − ≤ ≤
Заметим, что
00
(1) ( , )F f x xy y= +∆ +∆
,
00
(0) ( , )F fx y=
. Функция
F
не-
прерывно дифференцируема на отрезке
[ 1,1]−
. Действительно, по формуле
для производной сложной функции находим:
00 00
()(, )(, ).
ff
Ft xtxyty x xtxyty y
xy
∂∂
′
= + ⋅∆ + ⋅∆ ⋅∆ + + ⋅∆ + ⋅∆ ⋅∆
∂∂
(∗)
Из теоремы о непрерывности сложной функции выводим, что функция
00
(, )
f
xtxyty
x
∂
+ ⋅∆ + ⋅∆
∂
непрерывна на отрезке
[ 1,1]−
. Отсюда и из непрерывности функции
00
(, )
f
xtxyty
y
∂
+ ⋅∆ + ⋅∆
∂
на отрезке
[ 1,1]−
следует непрерывность на указанном отрезке функции
()Ft
′
. Кроме того, полагая в формуле (∗)
0t =
, находим:
Глава 1
43
Функции нескольких переменных
ç
è
Тейлор
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
