ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
дующее соотношение:
( ( ), ( ))ttD
ϕψ
∈
. Тогда на интервале
I
определена
сложная функция
( ( ), ( ))uf t t
ϕψ
=
. Покажем, что функция
()u ut=
диффе-
ренцируема на интервале
I
, и найдем формулу для вычисления ее произ-
водной.
Выберем точку
tI∈
, зададим произвольное приращение
t∆
пере-
менной
t
, обозначим через
x∆
и
y∆
соответствующие приращения пере-
менных
()xt
ϕ
=
,
()yt
ψ
=
:
( ) ()x tt t
ϕϕ
∆ = +∆ −
,
( ) ()y tt t
ψψ
∆ = +∆ −
.
В силу дифференцируемости функции
f
, имеет место соотношение
( , ) (, ) ,u f x xy y f xy A x B y x y
αβ
∆ = +∆ +∆ − = ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆
(∗)
где
(, )f xy
A
x
∂
=
∂
,
(, )f xy
B
y
∂
=
∂
,
(,)xy
αα
= ∆∆
,
(,)xy
ββ
= ∆∆
, причем
0
α
→
,
0
β
→
при
x∆
,
0y∆→
.
Тогда из соотношения (∗) находим:
uxyxy
AB
ttttt
αβ
∆∆∆∆∆
=⋅ +⋅ +⋅ +⋅
∆∆∆∆∆
.
Переходим в полученном соотношении к пределу при
0t∆→
. Учтем, что
при этом
x∆
,
0y∆→
, поскольку дифференцируемые функции
ϕ
и
ψ
яв-
ляются непрерывными в любой точке своей области определения. Отсюда
следует, что
(,) 0xy
αα
= ∆∆ →
, аналогично получаем, что
0
β
→
. Учиты-
вая указанные выше значения величин
A
и
B
, получаем окончательно:
,
du f dx f dy
dt x dt y dt
∂∂
=⋅+⋅
∂∂
или в развернутом виде:
() ()
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) .
d fdtfdt
ftt tt tt
dt x dt y dt
ϕψ
ϕψ ϕψ ϕψ
∂∂
= ⋅+ ⋅
∂∂
Мы нашли формулу для нахождения производной сложной функции.
Глава 1
33
Функции нескольких переменных
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
