Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

(0,0) 0
f
y
∂
=
∂
. Однако, данная функция не является непрерывной в точке
(0,0)
и, следовательно, не является дифференцируемой в этой точке.
Приводимая ниже теорема дает достаточные условия дифференци-
руемости функции в точке в терминах ее частных производных.
Т
ЕОРЕМА 9. Предположим, что функция
f
определена в некоторой
окрестности точки
n
c∈
и имеет в этой окрестности частные произ-
водные по каждой из переменных, непрерывные в точке
c
. Тогда функ-
ция
f
дифференцируема в точке
c
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением случая
2n =
. Общий
случай отличается от него лишь более громоздкой записью. Предположим,
что функция
f
определена в окрестности
U
точки
и имеет в
этой окрестности частные производные
(, )
f
xy
x
∂
∂
и
(, )
f
xy
y
∂
∂
, непрерывные
в точке
c
. Выберем такое число
0
δ
>
, чтобы выполнялось соотношение
()Uc U
δ
⊂
. Зададим приращения
x∆
и
y∆
независимой переменной, удов-
летворяющие неравенству
2 22
xy
δ
∆ +∆ <
. Тогда
( , ).a xb y U+∆ +∆ ∈
Рассмотрим соответствующее приращение функции
f
:
(,) ( , ) (,)fab fa xb y fab∆ = +∆ +∆ − =
( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )).fa xb y fab y fab y fab= +∆ +∆ − +∆ + +∆ −
Применяя к выражениям в каждой из скобок формулу конечных прираще-
ний, получаем:
12
(,) ( , ) (, ) ,
ff
f ab a xb y x ab y y
xy
θθ
∂∂
∆ = + ∆ +∆ ⋅∆ + + ∆ ⋅∆
∂∂
(∗)
где
11
(,)xy
θθ
= ∆∆
,
22
()y
θθ
= ∆
,
12
0,1
θθ
<<
.
Обозначим:
Глава 1
31
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы