Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

констант
i
L
из определения дифференцируемости выполняются соотно-
шения
()
i
i
f
La
x
∂
=
∂
,
1i =
,
2
, …,
n
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что
1
0x∆≠
,
2
0x∆=
, …,
0
n
x∆=
.
Обозначим:
1
( ,0, ,0)xx∆=∆
. Тогда
1
||xx=∆ ∆‖‖
, и из (∗) получаем:
1 12 12 11 1
nn
Деля обе части соотношения на
1
x∆
и переходя к пределу при
1
0x∆→
, по-
лучаем, что существует частная производная
1
()
f
a
x
∂
∂
и выполняется равен-
ство
1
1
()
f
aL
x
∂
=
∂
. Аналогично рассматриваются остальные частные произ-
водные.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что числа
i
L
в определении диффе-
ренцируемости находятся единственным образом. При этом формула (∗)
может быть переписана следующим образом:
1
() ( ) () () ( ).
n
i
i
i
f
fa fa x fa a x o x
x
=
∂
∆ = +∆ − = ∆ + ∆
∂
∑
‖‖
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейная функция
1
() ()
n
i
i
i
f
df a a x
x
=
∂
= ∆
∂
∑
переменной
x∆
называется дифференциалом функции
f
в точке
a
.
З
АМЕЧАНИЕ. Величины
i
x∆
принято в данном контексте обозначать
через
i
dx
, и выражения для дифференциала функции приобретает вид:
1
() ()
n
i
i
i
f
df a a dx
x
=
∂
=
∂
∑
.
Глава 1
28
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы