Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

менной имеет в некоторой точке
a
локальный экстремум. Если эта функ-
ция дифференцируема в точке
a
, то
() 0fa
′
=
. Этим свойством мы будем
пользоваться в доказательстве следующего утверждения.
Т
ЕОРЕМА 12. Предположим, что функция
f
определена в некоторой
окрестности точки
n
a
∈
и имеет в этой точке локальный экстремум.
Если в этой точке функция имеет частные производные первого порядка,
то все эти производные равны нулю.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся случаем функции двух переменных.
Предположим, что
12
(, )a aa=
. Рассмотрим функцию
1 12
() (, )gx f x a=
од-
ной переменной. Эта функция определена в некоторой окрестности точ-
ки
1
a
и имеет в точке
локальный экстремум. Кроме того, существует
1 12
() (, )
f
ga aa
x
∂
′
=
∂
.
Тогда имеет место равенство
1
()0ga
′
=
, то есть
12
(, ) 0
f
aa
x
∂
=
∂
. Аналогично
рассматривается частная производная по второй переменной.
Теорема доказана.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка, в которой все частные производные первого
порядка функции
f
обращаются в ноль, называется стационарной точкой
этой функции.
З
АМЕЧАНИЕ. Как и в случае функций одной переменной, стационар-
ная точка может не быть точкой экстремума. Например, для функции
22
(, )f xy x y= −
точка
(0,0)
является стационарной,
(0,0) 0f =
. Однако в
любой окрестности рассматриваемой точки функция может принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Например, для любого
0
ε
≠
имеем:
2
( ,0) 0f
εε
= >
,
2
(0, ) 0f
εε
=−<
. Поверхность
22
zx y= −
в
окрестности начала координат изображена на следующем рисунке.
Глава 1
47
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы