Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных заданий. Пинкина Н.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СФУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

11
=
∗
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA
A
где А
ij
является алгебраическим дополнением к элементу a
ij.
A
ij
=(-1)
I+j
M
ij
В нашем задании:
−−
−=
163
311
521
A
=
z
y
x
X
−
=
25
2
9
B
Найдем А
∗
:
28)302(
16
52
)1(
3)36(
63
11
)1(
10)91(
13
31
)1(
,19)181(
16
31
)1(
12
21
31
13
21
12
11
11
−=+−−=
−−
−=
−=+−=
−
−
−=
=−−−=
−
−=
=+=
−−
−
−=
+
+
+
+
A
A
A
A
3)21(
11
21
)1(
2)53(
31
51
)1(
11)56(
31
52
)1(
12)66(
63
21
)1(
16)151(
13
51
)1(
33
33
23
32
13
31
32
23
22
22
−=−−=
−
−=
=−−=−=
=+=
−
−=
=−−−=
−
−=
−=−−=
−
−=
+
+
+
+
+
A
A
A
A
A
−−
−
−
=
∗
3123
21610
112819
A
24
==∆
A
−
−=
−=−+
−=+−−
=+−−
=
−
−−
−
−
==
−−
−
−
=
−
−
1
3
2
24752427
72503290
4827556171
24
1
25
2
9
3123
21610
112819
24
1
,
3123
21610
112819
24
1
1
1
BAXТогда
A
12
Ответ: x=2, y=-3, z=-1
6)Найти общее решение, частное решение и фундаментальную
систему решений данной однородной системы.
Определение: система АХ=В называется однородной если столбец
свободных членов В=0.
Определение: рангом расширенной матрицы называется
максимальное число линейно независимых (ненулевых) строк.
Если ранг расширенной системы равен r, а число уравнений n,
то число свободных неизвестных равно (n-r).
Определение: элементарными называются следующие
преобразования:
1) умножение любой строки матрицы на число;
2) прибавление к любой строке матрицы другой строки
умноженной на число;
Теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
При перемене местами двух строк или двух столбцов (при
этом переобзначив переменные) ранг матрицы также остается
неизменным.
Пример: Пусть дана однородная система линейных уравнений.
=−+−+
=+−−−
=++−+
05341211
027322
0283
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
определим ранг данной системы
А=
−−
−−−
−
53412111
27322
12813
−
−−−
−−
≈
12813
27322
53412111
(-2) (-3) ≈
−
−−
−−
≈
1610028320
127521240
53412111
)
3
4
(−
−−
−−
≈
00000
127521240
53412111
Матрица А имеет ранг равный 2.Выбираем в матрице две линейно
независимых строки и оставляем в системе лишь те уравнения,
коэффициенты которых вошли в выбранные строки.
В этих уравнениях оставляем в левых частях такие две
неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен
от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и
переносим в правые части уравнений.
Пусть x
3
,x
4
,x
5
–свободные неизвестные, тогда
−+−=−
+−=+
5432
54321
12752124
5341211
xxxx
xxxxx

Страницы