ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
Из второго уравнения находим
5432
2
1
8
25
8
7
xxxx +−=
Подставляя найденное значение x
2
в первое уравнение находим:
5431
5435431
2
1
8
3
8
19
53412
2
11
8
275
8
77
xxxx
xxxxxxx
−+=
+−=+−+
Запишем общее однородное решение системы:
);;;
2
1
8
25
8
7
;
2
1
8
3
8
19
(
543543543.
xxxxxxxxx
oo
+−−+=Χ
Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения,
мы получаем все решения данной системы.
Пусть x
3
=8, x
4
=-8, x
5
=2. Подставляя данные значения в общее
однородное решение мы получим частное однородное решение:
)2;8;8;33;15(
.
−=Χ
оч
Определение: Всякая максимально линейно независимая система
решений однородной системы уравнений называется ее
фундаментальной системой.
Если ранг матрицы равен r, а число неизвестных n, то всякая
фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений.
В нашем случае r=2, n=5, следовательно фундаментальная
система решений (ФСР) будет состоять из 3-х линейно независимых
векторов
321
,, ΧΧΧ
. Чтобы составить ФСР мы должны задать такие
значения свободным неизвестным, чтобы определитель из данных
значений был ненулевой.
Зададим:
2,0,0:
0,8,0:
0,0,8:
5433
5432
5431
===Χ
===Χ
===Χ
xxx
xxx
xxx
На диагонали могут стоять любые элементы, мы подбираем
наиболее удобные для нас. Все элементы, стоящие не на диагонали
берем равные нулю. В результате мы получаем линейно
независимую систему (так как определитель не равен нулю). Далее
подставляем наши значения в общее однородное решение и строим
ФСР.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
1
Χ
19 7 8 0 0
2
Χ
3 -25 0 8 0
3
Χ
-1 1 0 0 2
Данная система решений будет являться базой для любого частного
решения. Любой вектор, не входящий в данную систему векторов
14
будет являться линейной комбинацией из базисных векторов.
Проведем иллюстрацию:
332211..
Χ+Χ+Χ=Χ
ααα
оч
−
+
−
+
=
−
2
0
0
1
1
0
8
0
25
3
0
0
8
7
19
2
8
8
33
15
321
ααα
Получим систему:
=
−=
=
=+−
=−+
22
88
88
33257
15319
3
2
1
321
321
α
α
α
ααα
ααα
Отсюда,
1
1
3
3
2
1
=
−=
=
α
α
α
321..
3 Χ+Χ−Χ=Χ
оч
7). Образует ли линейное пространство данное множество.
Определение: множество V называется линейным пространством,
если в нем определены операции сложения (если
VbaVbVa ∈+⇒∈∈ )(,
) и умножения на число
α
(если
VaVа ∈⇒∈
α
),
и введенные операции удовлетворяют аксиомам:
1) a+b=b+a
2) a+(b+c)=(a+b)+c
3)
aa
=+∃
0:0
4) 0)(: =−+−∃ aaa
5) baba
ααα
+=+ )(
6) aaa
β
α
β
α
+=+ )(
7)
aa )()(
α
β
β
α
=
8) 1
×а=а
Пример 1: будет ли являться линейным пространством множество
матриц размером m
×
n?
Решение: Пусть множество V составляют матрицы размером m
×
n
они будут являться линейным пространством, так как на данном
множестве введена операция сложения : если матрицу А
∈V сложить
с матрицей В
∈
V, то мы получим матрицу С размером m
×
n, которая
тоже принадлежит множеству V; и операция умножения на число:
если матрицу А
∈
V умножить на число
α
, то получим матрицу D,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
