Высшая математика. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пинкина Н.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СФУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

11
4) Каноническое уравнение прямой.
В первом уравнении запишем
A(x-x
0
)=-B(y-y
0
)
Обе части разделим на АВ, получим
A
yy
B
xx
−
−
=
−
00
(4)
Вектор S (B,-A) называется направляющим вектором. S параллелен
прямой (4).
5) Уравнение прямой, проходящей через две точки M
1
(x
1
,y
1
) и
M
2
(x
2
,y
2
) . В данном случае в уравнении 4) в качестве направляющего
вектора S нужно взять вектор
),(
12121
yyxxMM −− и уравнение прямой
примет вид
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
(5)
6) Параметрические уравнения прямой получаются из уравнения (4)
следующим образом:
t
A
yy
B
xx
=
−
−
=
−
00
,
тогда имеем:
+−=
+=
−=−
=−
=
−
−
=
−
0
0
0
0
0
0
yAty
xBtx
tAyy
tBxx
t
A
yy
t
B
xx
Эти уравнения применяются в том случае, когда нужно получить
«часть» прямой (например, отрезок, луч, целочисленные ответы).
7) Нормальное уравнение прямой выводится из уравнения (2). Оно
получается, если в качестве нормального вектора взять нормированный
нормальный вектор, т. е. вектор, длина которого единица. Для этого
разделим уравнение (2) на
22
BAN += , получим:
0
222222
=
+
+
+
+
+
BA
C
y
BA
B
x
BA
A
обозначим:
p
BA
C
BA
B
BA
A
=
+
=
+
=
+
222222
,sin,cos
αα
в результате получаем следующее уравнение прямой:
0sincos =++ pyx
αα
8) Расстояние от точки М(x
0
,y
0
) до прямой (2) вычисляется по формуле:
12
22
00
BA
CByAx
d
+
++
=
Уравнение плоскости
.
Плоскость, проходящая через точку М
0
(x
0
,y
0
,z
0
) и перпендикулярно
вектору N
{}
CBA ,,
представляется уравнением первой степени
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C (z-z
0
)=0 или Ax+By+Cz+D=0,
Где через D обозначена величина –(Ax
0
+By
0
+Cz
0
). Вектор N называется
нормальным вектором или нормалью плоскости.
Особые случаи положения плоскости относительно системы
координат.
1) Уравнение Ax+By+Cz=0(свободный член D=0) представляет
собой плоскость, проходящую через начало координат.
2) Уравнение Ax+By+D=0 представляет плоскость, параллельную
оси OZ, уравнение Ax+Cz+D=0-плоскость, параллельную оси
OY, уравнение Dy+Cz+D=0 –плоскость, параллельную оси OX.
3) Уравнение Ax+D=0(B=0,C=0) представляет плоскость,
параллельную как оси OY, так и оси OZ, т. е. Параллельную
координатной плоскости YOZ.
4) Уравнения X=0, Y=0, Z=0 представляют соответственно
плоскости YOZ, XOZ, XOY.
Условие параллельности плоскостей.
Если плоскости A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0 т и A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
параллельны, то нормальные векторы N
1
{}
111
,, СВА
и N
2
{}
222
,, СВА
коллениарны ( и наоборот). Поэтому условие параллельности
(необходимое и достаточное ) есть
1
2
1
2
1
2
С
С
В
В
А
А
==
Условие перпендикулярности двух плоскостей.
Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их
нормальные векторы ( и наоборот). Поэтому условие
перпендикулярности (необходимое и достаточное ) есть
А
1
А
2
+В
1
В
2
+С
1
С
2
=0

Страницы