Высшая математика. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пинкина Н.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СФУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

13
Угол между плоскостями.
Две плоскости образуют четыре двугранных угла, равных попарно.
Один из них равен углу между нормальными векторами N
1
и N
2
.
обозначая любой из двугранных углов за
ϕ
имеем
формулу
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
±=
ϕ
Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной
плоскости.
Плоскость, проходящая через точку М(x
1
,y
1
,z
1
) и параллельная
плоскости Ax+By+Cz+D=0, представляется уравнением
A(x-x
1
)+B(y-y
1
)+C(z-z
1
)=0
Плоскость, проходящая через три точки.
Если точки M
0
(x
0
,y
0
,z
0
), M
1
(x
1
,y
1
,z
1
) , M
2
(x
2
,y
2
,z
2
) лежат на одной
прямой, то проходящая через них плоскость представляется
уравнением
020202
010101
000
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
−−−
−−−
−−−
=0
данное уравнение выражает компланарность трех векторов.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если плоскость отсекает на осях отрезки a, b, c ( не равные нулю), то
ее можно представить уравнением
1=++
c
z
b
y
a
x
которое называется «уравнением плоскости в отрезках».
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние d от точки M
1
(x
1
,y
1
,z
1
) до плоскости Ax+By+Cz+D=0
равно абсолютному значению величины
δ
, т. е.
222
111
CBA
DСzByAx
d
++
+++
==
δ
14
Уравнение прямой в пространстве.
Всякая прямая линия представляется системой двух уравнений
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
представляющих ( если их рассматривать по отдельности) какие-
либо две (различные ) плоскости .
Направляющий вектор.
Всякий (ненулевой) вектор а
{}
nml ,,
, лежащий на прямой (или
параллельный ей), называется направляющим вектором этой прямой.
Координаты l, m, n называются направляющими коэффициентами
прямой.
Помножив направляющие коэффициенты на одно и то же число k (не
равное нулю), получим числа lk, mk, nk, которые тоже будут
направляющими коэффициентами ( это координаты вектора ak,
коллинеарного с а).
За направляющий вектор прямой UV можно принять векторное
произведение
21
NN × где
{}
1111
,, CBAN = и
{}
2222
,, CBAN = -
нормальные векторы плоскостей.
Угол между двумя прямыми.
Угол
ϕ
между прямыми L и L
1
( точнее один из углов между ними)
находится по формуле
2
1
2
1
2
1
222
111
cos
nmlnml
nnmmll
++++
++
=
ϕ
где l, m, n и l
1
, m
1
, n
1
направляющие коэффициенты прямых L и L
1
.
Угол между прямой и плоскостью.
Угол
ψ
между прямой L и плоскостью находится по формуле
222222
sin
nmlCBA
CnBmAl
++++
++
=
ψ
Условие параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости.
Условие параллельности прямой L и плоскости есть

Страницы