Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.1 Если ξ(t,ω), τ ∈ T = [a,b] – n -мерный марковский процесс и
t, τ ∈ T, t < τ – любые два фиксированных момента времени, то для любого
значения ),t(t
τ
∈
′
имеет место равенство
. (46)
∫
⋅τ
′
⋅
′
=
n
R
dZY),Z,,tf(Z),tX,f(t,Y)ф,X,f(t,
Для упрощения и наглядности проводимых рассуждений ограничимся
скалярным случаем, то есть полагаем n
= 1. Пусть t, t', τ ∈ T, t < t' < τ – любые
три фиксированных момента времени и f
2
(x,y) – двумерная функция
плотности вероятностей изучаемого случайного процесса ξ(t,ω), t ∈ T,
соответствующая моментам времени t и τ, a f
3
(x,y,z) – его трехмерная
функция плотности вероятностей, соответствующая моментам времени t, t', τ.
При этом
∫
∞
∞
−
= z)dzy,(x,fy)|(xf
32
, (47)
А так как случайный процесс ξ(t,ω), t∈T является марковским, то
f
2
(x,y)=f
ξ
(y|x)f
1
(x), f
3
(x,y,z)=f
ξ
(y|z)f
ξ
(z|x)f
1
(x)
и равенство (47) преобразуется к следующему:
∫
∞
∞−
ξξξ
⋅= dz)x|z(f)z|y(f)x|y(f.
Для завершения доказательства достаточно перейти к обозначениям
(45).
Равенство (46) известно как
уравнение Маркова – Смолуховского –
Чепмена – Колмогорова.
В конце XIX в. русский математик А. А. Марков
получил аналог уравнения (46) для марковских процессов с дискретным
временем (
цепи Маркова), польский физик-теоретик М. Ф. Смолуховский в
начале XX в. использовал уравнение (46) при изучении броуновского
движения, английский геофизик С. Чепмен в 30-х гг. XX в. использовал
уравнение (46) для решения кинетического уравнения Больцмана, а русский
47
        Теорема 4.1 Если ξ(t,ω), τ ∈ T = [a,b] – n -мерный марковский процесс и
 t, τ ∈ T, t < τ – любые два фиксированных момента времени, то для любого
                    значения t ′ ∈ ( t , τ) имеет место равенство

                    f(t, X, ф,Y) = ∫ f(t, X, t ′, Z) ⋅ f(t ′, Z, τ, Y) ⋅ dZ .   (46)
                                          n
                                      R

        Для упрощения и наглядности проводимых рассуждений ограничимся
скалярным случаем, то есть полагаем n= 1. Пусть t, t', τ ∈ T, t < t' < τ – любые
три фиксированных момента времени и f2(x,y) – двумерная функция
плотности вероятностей изучаемого случайного процесса ξ(t,ω), t ∈ T,
соответствующая моментам времени t и τ, a f3(x,y,z) – его трехмерная
функция плотности вероятностей, соответствующая моментам времени t, t', τ.
При этом
                                                  ∞
                                    f 2 (x | y) = ∫ f 3 (x, y,z)dz ,            (47)
                                                 −∞
А так как случайный процесс ξ(t,ω), t∈T является марковским, то
                   f2(x,y)=fξ(y|x)f1(x), f3(x,y,z)=fξ(y|z)fξ(z|x)f1(x)
и равенство (47) преобразуется к следующему:
                                              ∞

                            f ξ ( y | x ) = ∫ f ξ ( y | z)f ξ (z | x ) ⋅ dz .
                                              −∞

        Для завершения доказательства достаточно перейти к обозначениям
(45).
        Равенство (46) известно как уравнение Маркова – Смолуховского –
Чепмена – Колмогорова. В конце XIX в. русский математик А. А. Марков
получил аналог уравнения (46) для марковских процессов с дискретным
временем (цепи Маркова), польский физик-теоретик М. Ф. Смолуховский в
начале XX в. использовал уравнение (46) при изучении броуновского
движения, английский геофизик С. Чепмен в 30-х гг. XX в. использовал
уравнение (46) для решения кинетического уравнения Больцмана, а русский


                                                                                   47

Страницы