Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

матрицей диффузии соответственно. Из неотрицательной определенности
любой ковариационной матрицы и тождества (50) следует неотрицательная
определенность матрицы диффузии.
Условная функция плотности вероятностей f(t,X,τ,Y), рассматриваемая
как функция параметров конечного состояния τ ∈ T и Y = (y
1
... y
n
)
T
,
удовлетворяет уравнению
() ()(
∑∑∑
===
=⋅τ
∂∂
∂
−⋅τ
∂
∂
+
τ∂
∂
n
1k
n
1k
n
1m
km
mk
2
k
k
0f,Yb
yy2
1
f),Y(a
y
f
)
. (51)
Уравнения (48) и (51) называют
первым и вторым уравнениями
Колмогорова
соответственно. Уравнение (51) называют также уравнением
Колмогорова – Фоккера – Планка
, поскольку оно встречалось в работах М.
К. Планка, А. Д. Фоккера и других физиков еще до того, как его обосновал А.
Н. Колмогоров.
Вывод уравнений Колмогорова (48), (51), приведенный ниже, весьма
схематичен и реализован для скалярного марковского процесса (n = 1) при
излишне жестких ограничениях. Но он позволяет уяснить как
содержательный смысл самих уравнений, так и входящих в них параметров.
Вывод первого уравнения Колмогорова. Пусть ξ(t,ω), t ∈ T = [a,b] –
скалярный марковский случайный процесс и f(t,x,τ,y) – его условная функция
плотности вероятностей. В
уравнении Маркова – Смолуховского – Чепмена –
Колмогорова
(46) при n = 1 полагаем t′ = t + ∆, где 0 < ∆ < τ – t и записываем
его в следующем виде:
f . (52)
()
∫
∞
∞−
⋅τ∆+⋅∆+=τ dz)y,,z,t(f)z,t,x,t(fy,,x,t
Предположим, что условная функция плотности вероятностей
f(t+∆,z,τ,y) как функция скалярного аргумента z в окрестности точки z = x
может быть разложена по формуле Тейлора:
49
матрицей диффузии соответственно. Из неотрицательной определенности
любой ковариационной матрицы и тождества (50) следует неотрицательная
определенность матрицы диффузии.
    Условная функция плотности вероятностей f(t,X,τ,Y), рассматриваемая
как функция параметров конечного состояния τ ∈ T и Y = (y1 ... yn)T ,
удовлетворяет уравнению
      ∂f  n
               ∂                      1 n n         ∂2
         +∑        (a k (Y, τ) ⋅ f ) − ∑∑                  (b km (Y, τ) ⋅ f ) = 0 .                (51)
      ∂τ k =1 ∂y k                    2 k =1 m=1 ∂y k ∂y m

    Уравнения (48) и (51) называют первым и вторым уравнениями
Колмогорова соответственно. Уравнение (51) называют также уравнением
Колмогорова – Фоккера – Планка, поскольку оно встречалось в работах М.
К. Планка, А. Д. Фоккера и других физиков еще до того, как его обосновал А.
Н. Колмогоров.
    Вывод уравнений Колмогорова (48), (51), приведенный ниже, весьма
схематичен и реализован для скалярного марковского процесса (n = 1) при
излишне     жестких         ограничениях.               Но       он      позволяет            уяснить       как
содержательный смысл самих уравнений, так и входящих в них параметров.
    Вывод первого уравнения Колмогорова. Пусть ξ(t,ω), t ∈ T = [a,b] –
скалярный марковский случайный процесс и f(t,x,τ,y) – его условная функция
плотности вероятностей. В уравнении Маркова – Смолуховского – Чепмена –
Колмогорова (46) при n = 1 полагаем t′ = t + ∆, где 0 < ∆ < τ – t и записываем
его в следующем виде:
                                           ∞

                        f (t , x , τ, y ) = ∫ f ( t , x , t + ∆, z) ⋅ f ( t + ∆, z, τ, y) ⋅ dz .          (52)
                                          −∞

    Предположим,           что       условная           функция           плотности            вероятностей
f(t+∆,z,τ,y) как функция скалярного аргумента z в окрестности точки z = x
может быть разложена по формуле Тейлора:




                                                                                                             49

Страницы