Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

dz)y,,z,t(f)z,,x,t(f)y,,x,t(f
∫
β
α
∆+τ⋅τ=∆+τ
.
Поэтому
dyzd)y(R)y,,z,(f)z,,x,t(fdy)y(R)y,,x,t(f
∫∫∫
β
α
β
α
β
α
⋅⋅⋅∆+ττ⋅τ=⋅⋅∆+τ .
Если в двойном интеграле справа изменить обозначения переменных
интегрирования, заменив z на у и у на z, то с его помощью равенство (56)
приводится к следующему:
∫
β
α
⋅⋅
τ∂
τ∂
dy)y(R
)y,,x,t(f
=
=
⋅
−⋅⋅⋅∆+ττ⋅τ⋅
∆
∫∫
β
α
β
α
+→∆
dy)y(Rdz)z(R)z,,y,(f)y,,x,t(f
1
lim
0
. (57)
Согласно принятому допущению, функция R(z) дважды непрерывно
дифференцируема на интервале интегрирования. Поэтому ее можно
представить в виде
)|(|)()(
2
1
)()()()(
32
yzoyzyRyzyRyRzR −+−⋅
′′
⋅+−⋅
′
+= .
С учетом обозначений (49), (50) и в силу принятого допущения (54) о
вероятности больших отклонений |ξ(t′,ω) – ξ(t, ω)| получим
()
∫
−⋅
−+−⋅
′′
⋅+−⋅
′
+⋅∆+⋅
∆
+→∆
β
α
ττ
)()|(|)()(
2
1
)()()(,,,
1
lim
32
0
yRdzyzoyzyRyzyRyRzyf
=
=
),y(b)y(R
2
1
),y(a)y(R τ⋅
′′
⋅+τ⋅
′
.
Подставив этот результат в (57), приходим к равенству
∫∫
⋅⋅
′′
⋅⋅+
′
⋅=⋅⋅
∂
∂
β
α
β
α
τττ
τ
τ
dyyxtfyRybyRyadyyR
yxtf
),,,()(),(
2
1
)(),()(
),,,(
,
которое интегрированием по частям с учетом условий (55) преобразуется к
виду
52
                                                  β

                      f (t, x, τ + ∆, y) = ∫ f (t, x, τ, z) ⋅ f (t, z, τ + ∆, y)dz .
                                                  α

Поэтому
          β                                        β β

         ∫ f (t, x, τ + ∆, y) ⋅ R ( y) ⋅ dy = ∫∫ f (t, x, τ, z) ⋅ f (τ, z, τ + ∆, y) ⋅ R ( y) ⋅ dz ⋅dy .
          α                                        αα

Если в двойном интеграле справа изменить обозначения переменных
интегрирования, заменив z на у и у на z, то с его помощью равенство (56)
приводится к следующему:
β
  ∂f ( t , x , τ, y)
∫α ∂τ ⋅ R ( y) ⋅ dy =
       1 β                      β                                                    
= lim  ⋅ ∫ f ( t , x , τ, y) ⋅  ∫ f (τ, y, τ + ∆, z) ⋅ R ⋅ (z) ⋅ dz − R ( y)  ⋅ dy  .                (57)
  ∆ →+0 ∆
        α                      α                                                    

        Согласно принятому допущению, функция R(z) дважды непрерывно
дифференцируема на интервале интегрирования. Поэтому ее можно
представить в виде
                                                         1
                R( z ) = R ( y ) + R ′( y ) ⋅ ( z − y ) + ⋅ R ′′( y ) ⋅ ( z − y ) 2 + o(| z − y |3 ) .
                                                         2
        С учетом обозначений (49), (50) и в силу принятого допущения (54) о
вероятности больших отклонений |ξ(t′,ω) – ξ(t, ω)| получим
     1 β                                                  1                                                   
 lim ⋅ ∫ f (τ , y,τ + ∆, z) ⋅  R( y) + R′( y) ⋅ (z − y) + ⋅ R′′( y) ⋅ (z − y)2 + o(| z − y |3 ) ⋅ dz − R( y) =
∆→+0 ∆ α                                                  2                                                   
                                                             1
                                   = R ′( y) ⋅ a ( y, τ) +     ⋅ R ′′( y) ⋅ b( y, τ) .
                                                             2
        Подставив этот результат в (57), приходим к равенству
    β                                   β
      ∂f (t , x,τ , y )                                           1                        
    ∫                   ⋅ R( y ) ⋅ dy = ∫  a ( y ,τ ) ⋅ R ′( y ) + ⋅ b( y ,τ ) ⋅ R ′′( y )  ⋅ f (t , x,τ , y ) ⋅ dy ,
    α        ∂τ                         α                         2                        
которое интегрированием по частям с учетом условий (55) преобразуется к
виду

                                                                                                                      52

Страницы