Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()()
0dy)y(R)y,,x,t(f),y(b
y2
1
)y,,x,t(f),y(a
)y,,x,t(f
2
2
=⋅⋅
τ⋅τ
∂
∂
⋅−τ⋅τ
τ∂
∂
+
τ∂
τ∂
∫
β
α
.
Полученное уравнение в силу произвольности функции R(y) приводит
ко второму уравнению Колмогорова (51).
Рассмотрим n-мерный случайный процесс ξ(t,ω), t ∈ T = [0,∞],
удовлетворяющий стохастической модели состояния в форме Ито:
(58)
()
ωξ=ωξ
ωωξ+ωξΨ=ωξ
),(),(
);,t(dw)t),,t((Gdtt),,t(),t(d
0
0
где w(t,ω), t ∈ T – n-мерный винеровский процесс, выходящий из 0. Пусть при
каждом фиксированном ω ∈ Ω и ),
t
(
€
X
ω
ξ
=
векторная функция ψ(Х,t) и
матричная функция G(X,t) удовлетворяют условиям теоремы существования
и единственности решения задачи Коши (58) и являются непрерывными по t
на промежутке Т. В этом случае стохастическая модель состояния (58)
задает марковский процесс ξ(t,ω), t ∈ T и его условная функция плотности
вероятностей должна удовлетворять уравнениям Колмогорова (58), (51).
Определим коэффициенты этих уравнений, для чего воспользуемся
интегральным представлением стохастической модели состояния (58). Имеем
∫∫
∆+∆+
ωτ⋅τξ+τ⋅τξΨ=ωξ−ω∆+ξ
t
t
t
t
),(dw),(Gd),(),t(),t( . (59)
Второй интеграл в правой части (59) является стохастическим
интегралом Ито.
0X|),(dw),(GM
t
t
≡
=ξωτ⋅τξ
∫
∆+
, (60)
∫∫∫
∆+∆+∆+
τ⋅τ⋅τ=
=ξωτ⋅τξ⋅
ωτ⋅τξ
t
t
T
t
t
t
t
d),X(G),X(GX|),(dw),(G),(dw),(GM .
(61)
53
β
     ∂f ( t , x , τ, y) ∂                                       1 ∂2                                    
∫α  ∂τ                +    (a ( y, τ) ⋅ f ( t , x , τ, y ) ) −  ⋅     (b ( y, τ) ⋅ f ( t , x , τ, y ) ) ⋅ R ( y) ⋅ dy = 0 .
                          ∂τ                                     2 ∂y 2                                  
         Полученное уравнение в силу произвольности функции R(y) приводит
    ко второму уравнению Колмогорова (51).
         Рассмотрим             n-мерный            случайный             процесс          ξ(t,ω),       t ∈ T = [0,∞],
    удовлетворяющий стохастической модели состояния в форме Ито:
                           dξ( t , ω) = Ψ (ξ( t , ω), t )dt + G (ξ( t , ω), t )dw ( t , ω);
                                                                                                                 (58)
                                               ξ(0, ω) = ξ 0 (ω),

    где w(t,ω), t ∈ T – n-мерный винеровский процесс, выходящий из 0. Пусть при
    каждом фиксированном ω ∈ Ω и X =€ ξ( t , ω) векторная функция ψ(Х,t) и
    матричная функция G(X,t) удовлетворяют условиям теоремы существования
    и единственности решения задачи Коши (58) и являются непрерывными по t
    на промежутке Т. В этом случае стохастическая модель состояния (58)
    задает марковский процесс ξ(t,ω), t ∈ T и его условная функция плотности
    вероятностей должна удовлетворять уравнениям Колмогорова (58), (51).
    Определим коэффициенты                        этих уравнений, для чего воспользуемся
    интегральным представлением стохастической модели состояния (58). Имеем
                                           t+∆                    t +∆

           ξ( t + ∆, ω) − ξ( t , ω) =       ∫ Ψ (ξ, τ) ⋅ dτ + ∫ G(ξ, τ) ⋅ dw (τ, ω) .
                                             t                      t
                                                                                                                   (59)


         Второй интеграл в правой части (59) является стохастическим
    интегралом Ито.
                                t+∆                             
                              M  ∫ G (ξ, τ) ⋅ dw (τ, ω) | ξ = X  ≡ 0 ,                                             (60)
                                 t                              
       t + ∆                    t+∆                                t + ∆
    M  ∫ G (ξ, τ) ⋅ dw (τ, ω)  ⋅  ∫ G (ξ, τ) ⋅ dw (τ, ω) | ξ = X  = ∫ G (X, τ) ⋅ G T (X, τ) ⋅ dτ .
                                  
       t                       t                                  t
                                                                                                                   (61)



                                                                                                                          53

Страницы