Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

где λ=(λ
1
… λ
n
) и рассмотрим разность
[
]
(
)
(
)
[
]
),t(i),t(),tt(i),t(i),tt(i
e1eMeeM)t,(g)tt,(g
ωξ⋅λ⋅ωξ−ω∆+ξ⋅λ⋅ωξ⋅λ⋅ω∆+ξ⋅λ⋅
⋅−=−=λ−∆+λ .
Нас будет интересовать предел
t
)t,(g)tt,(g
lim
0t
∆
λ
−
∆
+
λ
+→∆
Поэтому в дальнейших рассуждениях с целью упрощения выкладок
будем пренебрегать слагаемыми порядка малости o(∆t) и писать:
(
)
(
)
),(),,(),,(),(),(
ω
ω
ω
ω
ω
twttGtttttt ∆⋅
+
∆
⋅
Ψ
=−∆+ ,
),
t
(w),
t
t
(w),
t
(w
ω
−
ω
∆
+
=
ω
∆ ,
()
(
)
tДtщ),о(t,Шлi1e
Дttщ),о(t,шлi
⋅⋅⋅=−
⋅
⋅⋅
,
Таким образом, при ξ ≡ ξ(t,ω), t ∈ T
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
ξ⋅λ⋅∆⋅ξ+∆⋅ξψ⋅λ⋅
⋅−=λ−∆+λ
iwt,Gtt,i
e1eM)t,(g)tt,(g=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
ξ⋅λ⋅∆⋅ξ⋅λ⋅∆⋅ξψ⋅λ⋅∆⋅ξ⋅λ⋅
⋅−+−⋅
iwt,Gitt,iwt,Gi
e1e1eeM=
=
()
(
)
(
)
(
)
[
]
ξ⋅λ⋅∆⋅ξ⋅λ⋅∆⋅ξ⋅λ⋅
⋅−+⋅∆⋅ξψ⋅λ⋅
iwt,Giwt,Gi
e1eett,iM.
Фиксируем t ∈ T. Обозначим через f
*
(X, Z|t) плотность распределения
случайного вектора
(ξ
T
(t,ω) ∆w
T
(t, ω))
T
, а через f
w
(Z|t) – плотность
распределения случайного вектора ∆w(t,ω). Тогда в силу
независимости
сечений
∆w(t,ω) от ξ(t,ω) имеем
f
*
(X, Z|t) = f
ξ
(X|t) ⋅ f
w
(Z|X, t) = f
ξ
(X|t) ⋅ f
w
(Z|t).
Таким образом,
(
)
(
)()
(
)
∫∫
×−+⋅⋅Ψ⋅⋅=−+
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
nn
RR
ZtX,GлiZtX,Gлi
1eeДttX,лit)g(л(Дt)tg(л(
(
)
(
)
dZdXt|Zft|Xfe
w
Xi
⋅⋅⋅⋅×
ξ
⋅λ⋅
=
=
()
()
()
()
() ( )
Xdt|Xfe1dZt|ZfedZt|ZfeДttX,лi
о
Xлi
RR
w
ZtX,Gлi
R
w
ZtX,Gлi
n nn
⋅⋅⋅
−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅Ψ⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∫∫∫
А так как w(t,ω), t ∈ [0,∞) – n-мерный
винеровский процесс и
M[∆w(t,ω)] = 0, M[∆w(t,ω) (∆w(t,ω))
T
] = I
n
∆t,
55
где λ=(λ1 … λn) и рассмотрим разность
                                            [                                        ]       [                                        ]
    g (λ, t + ∆t ) − g (λ, t ) = M e i⋅λ⋅ξ ( t + ∆t ,ω) − e i⋅λ⋅ξ ( t ,ω) = M (e i⋅λ⋅(ξ ( t + ∆t ,ω)−ξ ( t ,ω) ) − 1) ⋅ e i⋅λ⋅ξ ( t ,ω) .

        Нас будет интересовать предел
                                                             g (λ, t + ∆t ) − g (λ, t )
                                                     lim
                                                     ∆t → +0            ∆t
        Поэтому в дальнейших рассуждениях с целью упрощения выкладок
будем пренебрегать слагаемыми порядка малости o(∆t) и писать:
                 ξ (t + ∆t , ω ) − ξ (t , ω ) = Ψ (ξ (t , ω ), t ) ⋅ ∆t + G (ξ (t , ω ), t ) ⋅ ∆w(t , ω ) ,
                                          ∆w ( t , ω) = w ( t + ∆t , ω) − w ( t , ω) ,

                                     e i⋅л⋅ш(о(t,щ),t )⋅Дt − 1 = i ⋅ л ⋅ Ш(о(t, щ),t ) ⋅ Дt ,
        Таким образом, при ξ ≡ ξ(t,ω), t ∈ T
                                                                   [
                          g (λ, t + ∆t ) − g (λ, t ) = M (ei⋅λ⋅[ψ (ξ ,t )⋅∆t +G (ξ ,t )⋅∆w ] − 1) ⋅ ei⋅λ⋅ξ =    ]
                              [
                          = M (ei⋅λ⋅G (ξ,t )⋅∆w ⋅ (ei⋅λ⋅ψ (ξ,t )⋅∆t − 1) + ei⋅λ⋅G (ξ ,t )⋅∆w          − 1) ⋅ e ]=
                                                                                                            i⋅λ⋅ξ



                          = M[(i ⋅ λ ⋅ ψ (ξ, t ) ⋅ ∆t ⋅ e       i⋅λ⋅G ( ξ , t )⋅∆w
                                                                                     + ei⋅λ⋅G (ξ,t )⋅∆w− 1) ⋅ e ].
                                                                                                              i⋅λ⋅ξ



        Фиксируем t ∈ T. Обозначим через f*(X, Z|t) плотность распределения
случайного вектора (ξT(t,ω) ∆wT(t, ω))T, а через fw(Z|t) – плотность
распределения случайного вектора ∆w(t,ω). Тогда в силу независимости
сечений ∆w(t,ω) от ξ(t,ω) имеем
                              f*(X, Z|t) = fξ(X|t) ⋅ fw(Z|X, t) = fξ(X|t) ⋅ fw(Z|t).
        Таким образом,
                                                        (
          g(л(t + Дt) − g(л(t) = ∫ ∫ i ⋅ л ⋅ Ψ (X, t ) ⋅ Дt ⋅ e i⋅л⋅G (X,t )⋅Z + e i⋅л⋅G (X,t )⋅Z − 1 ×
                                                 n     n
                                                                                                                             )
                                                R R

                                        × e i⋅λ⋅X ⋅ f ξ (X | t ) ⋅ f w (Z | t ) ⋅ dX ⋅ dZ =

=
                                i⋅л⋅G(X,t )⋅Z                           i⋅л⋅G(X,t )⋅Z                         i⋅л⋅X
∫  i ⋅ л ⋅ Ψ(X, t ) ⋅ Дt ⋅ ∫ e               ⋅ f w (Z | t ) ⋅ dZ + ∫ e               ⋅ f w (Z | t ) ⋅ dZ − 1⋅e
                                                                                                                     ⋅ f о (X | t ) ⋅ dX
Rn                          Rn                                     Rn                                        
        А так как w(t,ω), t ∈ [0,∞) – n-мерный винеровский процесс и
                              M[∆w(t,ω)] = 0, M[∆w(t,ω) (∆w(t,ω))T] = In∆t,
                                                                                                                                       55

Страницы