Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

=
()
(
)
(
)
(
)
()
∫
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅Ψ⋅⋅
⋅
⋅
n
R
о
XлiTT
dXt|XfeДtлtX,GtX,Gл0.5ДttX,лi.
Разделив правую и левую части полученного равенства на ∆t и перейдя к
пределу при ∆t → 0, найдем
()
() () () ( )
∫
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅Ψ⋅⋅=
∂
∂
⋅⋅
n
R
о
XлiTT
dXt|XfeДtлtX,GtX,Gл
2
1
ДttX,лi
t
tл,g
.
Для перехода от характеристической функции к функции плотности
вероятностей достаточно воспользоваться формулой обращения
экспоненциального интегрального преобразования Фурье:
()
()
()
∫
λ⋅λ⋅⋅
π⋅
=
⋅λ⋅−
n
R
Yi
n
dt,ge
2
1
t|Yf
.
В результате приходим к следующему уравнению относительно
функции f
ξ
(Y|t):
()
()
() () ()
∫∫
×
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅Ψ⋅⋅⋅
⋅
=
∂
∂
nn
RR
TT
n
ДtлtX,GtX,Gл
2
1
ДttX,лi
р2
1
t
tY,f
ξ
(
)
(
)
λ⋅⋅⋅×
ξ
−⋅λ⋅
ddXt|Xfe
YXi
. (64)
Прежде чем приступать к анализу полученного уравнения (64),
приведем без доказательства некоторые свойства
δ
-функции Дирака:
1) если λ = (λ
1
... λ
n
) и Х = (x
1
... x
n
)
T
, то
()
()
()
∏∏
∫∫
==
∞
∞−
⋅λ⋅
⋅λ⋅
δ=
⋅⋅
π⋅
=λ⋅⋅
π⋅
=δ
n
1k
k
n
1k
k
xi
R
Yi
n
xdxe
2
1
de
2
1
X
kk
n
;
2) если функция ϕ(Х) непрерывна в R
n
, то для любого Y ∈ R
n
() ( )
(
)
(
)
)Y(dXXYXdXYXX
nn
RR
ϕ=⋅−δ⋅ϕ=⋅−δ⋅ϕ
∫∫
;
3) если функции ϕ(Х) и
ϕ непрерывны в R
(
X
k
x
′
)
n
, то для любого Y ∈ R
n
()
(
)
(
)
()
YX
k
R
k
R
k
x
)X(
dXXY
x
X
dX
x
YX
X
nn
=
∂
ϕ∂
−=⋅−δ⋅
∂
ϕ∂
−=⋅
∂
−δ∂
⋅ϕ
∫∫
;
4) если функции ϕ(Х) и
ϕ непрерывны в R
()
X
ji
xx
′′
n
, то для любого Y ∈ R
n
57
           (                                                                              )
 = ∫ i ⋅ л ⋅ Ψ (X, t ) ⋅ Дt − 0.5 ⋅ л ⋅ G (X, t ) ⋅ G T (X, t ) ⋅ л T ⋅ Дt ⋅ e i⋅л⋅X ⋅ f о (X | t ) ⋅ dX .
       n
   R

           Разделив правую и левую части полученного равенства на ∆t и перейдя к
 пределу при ∆t → 0, найдем
∂g(л, t )                              1                                         
          = ∫  i ⋅ л ⋅ Ψ (X, t ) ⋅ Дt − ⋅ л ⋅ G (X, t ) ⋅ G T (X, t ) ⋅ л T ⋅ Дt  ⋅ e i⋅л⋅X ⋅ f о (X | t ) ⋅ dX .
  ∂t        Rn                         2                                         
           Для перехода от характеристической функции к функции плотности
 вероятностей                      достаточно                  воспользоваться                формулой       обращения
 экспоненциального интегрального преобразования Фурье:
                                                                1
                                             f (Y | t ) =            ⋅ ∫ e −i⋅λ⋅Y ⋅ g(λ, t ) ⋅ dλ .
                                                            (2 ⋅ π) R n
                                                                   n



           В результате приходим к следующему уравнению относительно
 функции fξ(Y|t):
       ∂fξ (Y, t )                1                                        1                                         
                         =                  ⋅ ∫ ∫  i ⋅ л ⋅ Ψ (X, t ) ⋅ Дt − ⋅ л ⋅ G (X, t ) ⋅ G T (X, t ) ⋅ л T ⋅ Дt  ×
               ∂t            (2 ⋅ р )   n
                                             Rn Rn                         2                                         

                                            × e i⋅λ⋅( X −Y ) ⋅ f ξ (X | t ) ⋅ dX ⋅ dλ .       (64)

           Прежде чем приступать к анализу полученного уравнения (64),
 приведем без доказательства некоторые свойства δ-функции Дирака:
 1) если λ = (λ1 ... λn) и Х = (x1 ... xn)T , то

                                1                         n
                                                               1 ∞ i⋅λ k ⋅x k         n
                    δ(X ) =
                            (2 ⋅ π)n R∫n
                                    ⋅    e i⋅λ⋅Y
                                                 ⋅ d λ = ∏    2⋅π ∫
                                                              
                                                         k =1 
                                                                  ⋅   e        ⋅ dx k  = ∏ δ(x k ) ;
                                                                                      
                                                                    −∞                 k =1
 2) если функция ϕ(Х) непрерывна в Rn, то для любого Y ∈ Rn

                             ∫ ϕ(X ) ⋅ δ(X − Y ) ⋅ dX = ∫ ϕ(X ) ⋅ δ(Y − X ) ⋅ dX = ϕ(Y) ;
                             Rn                                      Rn


 3) если функции ϕ(Х) и ϕ′x k (X ) непрерывны в Rn, то для любого Y ∈ Rn

                                  ∂δ(X − Y )            ∂ϕ(X )                      ∂ϕ(X)
                    ∫ ϕ(X ) ⋅
                    Rn
                                     ∂x k
                                             ⋅ dX = − ∫
                                                     Rn
                                                         ∂x k
                                                               ⋅ δ(Y − X ) ⋅ dX = −
                                                                                     ∂x k X =Y
                                                                                               ;

 4) если функции ϕ(Х) и ϕ′x′i x j (X ) непрерывны в Rn, то для любого Y ∈ Rn

                                                                                                                            57

Страницы