Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 58 стр.

                      ∂ 2 δ(X − Y )         ∂ 2 ϕ(X )                     ∂ 2 ϕ(X)
           ∫R nϕ(X ) ⋅ ∂x i ∂x j ⋅ dX = R∫n ∂x i ∂x j ⋅ δ(Y − X ) ⋅ dX = − ∂x i ∂x j ;
                                                                                    X=Y


5) в интегралах, содержащих δ-функцию Дирака и ее производные, можно
выполнить дифференцирование по параметру под знаком интеграла сколько
угодно раз;
6) для частных производных δ-функции Дирака имеют место интегральные
представления
   ∂δ(X )       1                                                 ∂ 2 δ(X )        1
          =          ⋅ ∫ i ⋅ λ k ⋅ e i⋅λ⋅X ⋅ dλ ,                           =−          ⋅ ∫ λ i ⋅ λ j ⋅ e i⋅λ⋅X ⋅ dλ .
    ∂x k    (2 ⋅ π) R n
                   n
                                                                  ∂x i ∂x j    (2 ⋅ π) R n
                                                                                      n



Обратимся теперь к уравнению (64). Если Ψk(Х, t) – k-я координатная
функция для векторной функции Ψ(Х, t), а Gij(X, t) – скалярная функция,
расположенная на пересечении i-й строки и j-го столбца матричной функции
G(X, t) ⋅ G (X, t)T, то (64) может быть представлено в следующем виде:

     ∂f (Y , t ) n                                     1                       i⋅λ ⋅( X −Y )       
                = ∑ ∫ Ψk ( X , t ) ⋅ f ξ ( X | t ) ⋅            ∫ i ⋅ λ k ⋅ e               ⋅ d λ  ⋅ dX −
                                                                                                    
        ∂t                                             (2 ⋅ π ) R
                                                                n n
                  k =1R n
                                                                                                    

               1 n n                                  1                                                       
           −    ⋅ ∑∑ ∫ G ij (X, t ) ⋅ f ξ (X | t ) ⋅                        ∫R n i j
                                                                                 λ ⋅ λ ⋅ e i⋅λ⋅( X − Y )
                                                                                                         ⋅ d λ  ⋅ dX
               2 i=1 j=1 R n                          (2 ⋅ π )n                                               
                                                                                                              
Таким образом, согласно свойствам δ-функции Дирака,
                                                          1                         i⋅λ ⋅( X −Y )         
                 ∫n Ψk ( X , t ) ⋅ fξ ( X | t ) ⋅                   ∫ni ⋅ λk ⋅ e                   ⋅ dλ  ⋅ dX =
                                                    (2 ⋅ π )
                                                                  n
                 R                                                    R                                    
                                           ∂δ ( X − Y )
    = ∫ Ψk ( X , t ) ⋅ f ξ ( X | t ) ⋅
           n                                   ∂x k
                                                        ⋅ dX = −
                                                                  ∂
                                                                 ∂x k
                                                                                      [
                                                                      Ψk ( X , t ) ⋅ f ξ ( X | t )                   ]          =
       R                                                                                                                 X =Y


                                         =−
                                                 ∂
                                                ∂x k
                                                       [
                                                     Ψk (Y , t ) ⋅ f ξ (Y | t ) ,         ]
                                                     1                                                   
                  ∫n G ij (X , t ) ⋅ f ξ (X | t ) ⋅ 
                                                     (2 ⋅ π )n   ∫n λ i ⋅ λ j ⋅ e i ⋅ λ ⋅( X − Y )
                                                                                                    ⋅ d λ  ⋅ dX =
                                                                                                          
                  R                                              R                                       
                  ∂2                                           ∂2
           =−
              ∂x i ⋅ ∂x j
                          [    (    )     (     )]
                           G ij X, t ⋅ f ξ X | t X = Y = −
                                                           ∂y i ⋅ ∂y j
                                                                       [G ij (Y, t ) ⋅ f ξ (Y | t )]
                                                                                                                                    58