Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 59 стр.

и мы приходим ко второму уравнению Колмогорова (51) при замене t на τ:
                ∂f  n
                         ∂               1 n n          ∂2
                   +∑        (ψ k ⋅ f ) − ⋅ ∑∑                  ⋅ (G ij ⋅ f ) = 0 .
                ∂τ k =1 ∂y k             2 i =1 j=1 ∂y i ⋅ ∂y j

      Если вспомнить, что Ψk – k-я координатная функция векторной функции
Ψ, a Gij – скалярная функция, расположенная на пересечении i-й строки и j-го
столбца матричной функции G(X, t) ⋅ GT(X, t), то из сопоставления
полученного уравнения с (51) можно получить (62) и (63). Заметим также,
что при выводе второго уравнения Колмогорова в данном случае не
использовалось ограничение (54), а равенства (62) и (63) верны и при
отсутствии непрерывности функций Ψ (Х, t), G(X, t) по t ∈ T.
      Равенства (62), (63) позволяют реализовать переход от стохастической
модели состояния (58) к уравнениям Колмогорова (48), (51), которым
удовлетворяет     условная       функция        плотности          вероятностей       f(t,X,τ,Y)
марковского процесса ξ(t, ω;), t ∈ T, определяемого стохастической моделью
состояния (58). А так как уравнения Колмогорова (48), (51) полностью
определяются матричной функцией b(X, t) и векторной функцией a(X, t), то
равенства (62), (63) позволяют реализовать и обратный переход от уравнений
Колмогорова к стохастическому дифференциальному уравнению.
      Пусть второе уравнение Колмогорова для условной функции плотности
вероятностей f(t,x,τ,y) скалярного марковского процесса ξ(t, ω;), t ∈ Т = [0, ∞)
имеет следующий вид:
                           ∂f  ∂ 2        ∂2
                              = (y ⋅ f ) + 2 (sin (τ ⋅ y ) ⋅ f ) .
                           ∂t ∂y          ∂y
Согласно (51) имеем
                  a(x, t) = -x2,                    b(x, t) = 2 ⋅ sin(t ⋅ x).
      Так как матрица диффузии неотрицательно определена, то уравнение
Колмогорова определено лишь для значений τ и y, удовлетворяющих
неравенству sin(τ ⋅ y) ≥ 0. Таким образом, из соотношений (62), (63) следует,
что

                                                                                             59