Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
)t,Xbt,XG = (65).
Определим систему стохастических дифференциальных уравнений,
которой удовлетворяет двумерный марковский процесс
()
(
)
()
ωξ
ωξ
=ωξ
,t
,t
,t
2
1
, t ∈ T = [0, ∞],
если условная функция плотности вероятностей этого случайного процесса
f(t, x
1
, x
2
, τ, y
1
, y
2
) удовлетворяет первому уравнению Колмогорова с
известными параметрами k, σ
2
, h:
()
0
x
f
2x
f
xh2xk
x
f
x
t
f
2
2
22
2
21
2
1
2
=
∂
∂
⋅
σ
+
∂
∂
⋅⋅⋅+⋅−
∂
∂
⋅+
∂
∂
.
Согласно (48), имеем
a
1
(X, t) = x
2
, a
2
(X, t) = – (k
2
⋅ x
1
+ 2 ⋅ h ⋅ x
2
),
b
11
(X, t) ≡ b
12
(X, t) ≡ b
21
(X, t) ≡ 0, b
22
(X, t) ≡ σ
2
.
Таким образом, матричная функция b(X, t) является симметрической и
для завершения решения исходной задачи достаточно воспользоваться
равенствами (62), (65):
Ψ
1
(X, t) = x
2
, Ψ
2
(X, t) = – k
2
⋅ x
1
– 2 ⋅ h ⋅ x
2
,
()
σ
=
σ
=
0
00
0
00
t,XG
2
и выписать систему стохастических дифференциальных уравнений,
входящих в стохастическую модель состояния (58):
dξ
1
(t, ω) = ξ
2
(t, ω) ⋅ dt,
dξ
2
(t, ω) = – [k
2
⋅ ξ
1
(t, ω) + 2 ⋅ h ⋅ ξ
2
(t, ω)] ⋅ dt + σ ⋅ dw(t, ω),
где dw(t, ω), t ∈ T – скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля.
В заключение отметим следующее.
1. При любых фиксированных значениях Х и t матрица диффузии b(X, t)
является симметрической и неотрицательно определенной. Поэтому с
помощью ортогонального преобразования ее можно привести к
61
                                      G (X, t ) = b(X, t ) )                                 (65).

      Определим систему стохастических дифференциальных уравнений,
которой удовлетворяет двумерный марковский процесс
                                          ξ ( t , ω) 
                             ξ(t , ω) =  1           , t ∈ T = [0, ∞],
                                           ξ
                                          2 ( t , ω)  
если условная функция плотности вероятностей этого случайного процесса
f(t, x1, x2, τ, y1, y2)   удовлетворяет         первому         уравнению        Колмогорова          с
известными параметрами k, σ2, h:
                  ∂f        ∂f                                 ∂f σ 2 ∂ 2 f
                     + x2 ⋅      − (k ⋅ x 1 + 2 ⋅ h ⋅ x 2 ) ⋅
                                     2
                                                                   +   ⋅     = 0.
                  ∂t        ∂x 1                              ∂x 2   2 ∂x 22
Согласно (48), имеем
                a1(X, t) = x2,                 a2(X, t) = – (k2 ⋅ x1 + 2 ⋅ h ⋅ x2),
               b11(X, t) ≡ b12(X, t) ≡ b21(X, t) ≡ 0,                   b22(X, t) ≡ σ2.
      Таким образом, матричная функция b(X, t) является симметрической и
для завершения решения исходной задачи достаточно воспользоваться
равенствами (62), (65):
                     Ψ1(X, t) = x2,         Ψ2(X, t) = – k2 ⋅ x1 – 2 ⋅ h ⋅ x2,

                                              0 0  0 0
                                 G (X, t ) =        = 
                                                    2
                                                                
                                               0 σ       0 σ  
и    выписать       систему       стохастических           дифференциальных               уравнений,
входящих в стохастическую модель состояния (58):
                                    dξ1(t, ω) = ξ2(t, ω) ⋅ dt,
             dξ2(t, ω) = – [k2 ⋅ ξ1(t, ω) + 2 ⋅ h ⋅ ξ2(t, ω)] ⋅ dt + σ ⋅ dw(t, ω),
где dw(t, ω), t ∈ T – скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля.
      В заключение отметим следующее.
      1. При любых фиксированных значениях Х и t матрица диффузии b(X, t)
является симметрической и неотрицательно определенной. Поэтому с
помощью         ортогонального          преобразования             ее        можно   привести         к

                                                                                                     61

Страницы