Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

диагональному виду, то есть существует такая ортогональная матрица
T(Х, t), что
T
T
(X, t) ⋅ b(X, t) ⋅T(X, t) = β(X, t) = diag(β
1
2
(X, t), … β
n
2
(X, t)).
При этом для определенности полагаем
()
(
)
(
)
(
)
t,X,...,t,Xdiag
€
t,X
n1
ββ=β .
А так как равенство
G
2
(X, t) = b(X, t)
эквивалентно равенству
(T
T
(X, t) ⋅ G(X, t) ⋅ T(X, t))
2
= T
T
(X, t) ⋅ b(X, t) ⋅T(X, t) = β(X, t)
то
()
(
)
(
)
(
)
t,XT)t,Xt,XTt,XG
T
⋅β⋅= .
Например, чтобы вычислить квадратный корень из неотрицательно
определенной симметрической матрицы
−
−
=
5.25.1
5.15.2
B,
находим ее собственные числа β
1
2
= 1, β
2
2
= 4 и соответствующие им
единичные собственные векторы, которые образуют ортонормированную
систему. Затем записываем матрицу
−
=
2
1
2
1
2
1
2
1
T.
Таким образом,
−
⋅
⋅
−
⋅=⋅β⋅=
11
11
40
01
11
11
2
1
TTb
T
=
=
−
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
5.15.0
5.05.0
11
11
20
01
11
11
2
1
.
2. Переход от уравнений Колмогорова к соответствующим системам
стохастических дифференциальных уравнений в общем случае не является
62
диагональному виду, то есть существует такая ортогональная матрица
T(Х, t), что
         TT(X, t) ⋅ b(X, t) ⋅T(X, t) = β(X, t) = diag(β12(X, t), … βn2(X, t)).
     При этом для определенности полагаем
                          β(X, t ) =€ diag( β1 (X, t ) ,..., β n (X, t ) ) .
     А так как равенство
                                     G2(X, t) = b(X, t)
эквивалентно равенству
         (TT(X, t) ⋅ G(X, t) ⋅ T(X, t))2 = TT(X, t) ⋅ b(X, t) ⋅T(X, t) = β(X, t)
то
                        G (X, t ) = T(X, t ) ⋅ β(X, t ) ) ⋅ T T (X, t ) .
     Например, чтобы вычислить квадратный корень из неотрицательно
определенной симметрической матрицы
                                          2.5 − 1.5 
                                    B =             ,
                                          − 1.5 2.5 
     находим ее собственные числа β12 = 1, β22 = 4 и соответствующие им
единичные собственные векторы, которые образуют ортонормированную
систему. Затем записываем матрицу
                                            1        1 
                                                        
                                    T=       2        2 .
                                            1         1 
                                                   −    
                                             2         2
     Таким образом,

                                       1 1 1              1 0  1 1 
                  b = T ⋅ β ⋅ TT =      ⋅       ⋅              ⋅    =
                                       2 1 − 1           0 4   1 − 1
                     1 1 1   1 0  1 1   0.5 − 0.5 
                 =    ⋅       ⋅       ⋅       =             .
                     2 1 − 1  0 2  1 − 1  − 0.5 1.5 
     2. Переход от уравнений Колмогорова к соответствующим системам
стохастических дифференциальных уравнений в общем случае не является

                                                                                   62

Страницы