Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

то плотность распределения f
w
(Z|t) для случайного вектора ∆w(t,ω) есть
плотность n-мерного нормального распределения с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной матрицей ∑ = I
n
∆t и определяется равенством
()
()
∆⋅
⋅
−
∆⋅π⋅
=
t2
ZZ
exp
t2
1
t|Zf
T
n
w
.
Следовательно,
()
()
()
()
∫∫
⋅
∆⋅
⋅
−⋅⋅λ⋅⋅
∆⋅π⋅
=⋅⋅
⋅⋅λ⋅
nn
R
T
n
R
w
Zt,XGi
dZ
t2
ZZ
Zt,XGiexp
t2
1
dZt|Zfe =
=
() ()
()
×
∆⋅π⋅
⋅
∆⋅λ⋅⋅⋅λ⋅−
n
TT
t2
1
tt,XGt,XG
2
1
exp
()()
()
()()
(
)
∫
⋅
∆⋅⋅λ⋅−⋅∆⋅⋅λ⋅−⋅
∆⋅
−×
n
R
T
T
T
T
dZtt,XGiZtt,XGiZ
t2
1
exp =
=
() ()
∆⋅λ⋅⋅⋅λ⋅− tt,XGt,XG
2
1
exp
TT
,
так как функция
()
()
()()
(
)
()()
(
)
∆⋅⋅λ⋅−⋅∆⋅⋅λ⋅−⋅
∆⋅
−⋅
∆⋅π⋅
=
T
T
T
T
n
tt,XGiZtt,XGiZ
t2
1
exp
t2
1
€
Zf
является n-мерной плотностью нормального распределения и, следовательно,
(
)
∫
=⋅
n
R
1dZZf.
Используя полученный результат, заменяя экспоненту первыми двумя
членами ее разложения по формуле Тейлора и отбрасывая слагаемые
порядка малости о(∆t), получаем
g(λ, t + ∆t) – g(λ, t) =
()
()()
(
)
(
)
(
)
()
∫
⋅⋅⋅−+⋅⋅Ψ⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−
n
TTTT
R
о
XлiДtлtX,GtX,Gл0.5ДtлtX,GtX,Gл0.5
dXt|Xfe1eeДttX,лi
() ()
=
(
)
(
)
(
)()
(
)
∫
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅Ψ⋅⋅
n
R
TTTT
ДtлtX,GtX,Gл0.5ДtлtX,GtX,Gл0.51ДttX,лi ×
(
)
dXt|Xfe
Xi
⋅⋅
ξ
⋅λ⋅
× =
56
то плотность распределения fw(Z|t) для случайного вектора ∆w(t,ω) есть
плотность n-мерного нормального распределения с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной матрицей ∑ = In∆t и определяется равенством

                                                                         1               ZT ⋅ Z 
                                               f w (Z | t ) =                       exp −         .
                                                                (2 ⋅ π ⋅ ∆t )n             2 ⋅ ∆t  
            Следовательно,
                                                                 1                                             ZT ⋅ Z 
    ∫e
            i⋅λ⋅G ( X , t )⋅Z
                                ⋅ f w (Z | t ) ⋅ dZ =                         ⋅ ∫ exp i ⋅ λ ⋅ G (X, t ) ⋅ Z −         ⋅ dZ =
    R   n                                                 (2 ⋅ π ⋅ ∆t )n        R n                            2 ⋅ ∆t  

                                      1                                                                1
                                = exp − ⋅ λ ⋅ G (X, t ) ⋅ G T (X, t ) ⋅ λT ⋅ ∆t  ⋅                                 ×
                                      2                                                           (2 ⋅ π ⋅ ∆t )n
               
        × ∫ exp −
                   1
                                          (                                      ) ( T
                        ⋅ Z − i ⋅ (λ ⋅ G (X, t )) ⋅ ∆t ⋅ Z − i ⋅ (λ ⋅ G (X, t )) ⋅ ∆t  ⋅ dZ =
                                                 T    T                         T
                                                                                                                         )
          Rn
                2 ⋅ ∆t                                                               

                                                    1                                         
                                              = exp − ⋅ λ ⋅ G (X, t ) ⋅ G T (X, t ) ⋅ λT ⋅ ∆t  ,
                                                    2                                         
так как функция

f (Z) =€
                            1                
                                        ⋅ exp −
                                                 1
                                                                (                                  ) (             T
                                                      ⋅ Z − i ⋅ (λ ⋅ G (X, t )) ⋅ ∆t ⋅ Z − i ⋅ (λ ⋅ G (X, t )) ⋅ ∆t 
                                                                               T    T                         T
                                                                                                                                         )
                   (2 ⋅ π ⋅ ∆t )n             2 ⋅ ∆t                                                               


является n-мерной плотностью нормального распределения и, следовательно,

                                                                    ∫ f (Z) ⋅ dZ = 1.
                                                                    Rn

                Используя полученный результат, заменяя экспоненту первыми двумя
    членами ее разложения по формуле Тейлора и отбрасывая слагаемые
    порядка малости о(∆t), получаем
                                                          g(λ, t + ∆t) – g(λ, t) =

    (
∫n i ⋅ л ⋅ Ψ(X,t ) ⋅ Дt⋅ e
                                       −0.5⋅л⋅G(X,t )⋅GT (X,t )⋅лT ⋅Дt
                                                                                                             )
                                                                         + e−0.5⋅л⋅G(X,t )⋅G (X,t )⋅л ⋅Дt − 1 ⋅ ei⋅л⋅X ⋅ fо (X | t ) ⋅ dX =
                                                                                            T        T


R


∫n(i ⋅ л ⋅ Ψ(X,t ) ⋅ Дt⋅ (1 − 0.5⋅ л ⋅ G(X,t ) ⋅ G (X,t ) ⋅ л ⋅ Дt) − 0.5⋅ л ⋅ G(X,t ) ⋅ G (X,t ) ⋅ л ⋅ Дt)×
                                                  T          T                            T          T

R
                                                            × e i⋅λ⋅X ⋅ f ξ (X | t ) ⋅ dX =
                                                                                                                                       56

Страницы