Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

А так
как Ψ(X,t) непрерывна по t, то из (59), согласно (60) и теореме о
среднем, имеем
[]
∆⋅Ψ=⋅Ψ==−∆+
∫
∆
+
),(),(|),(),(
*
τττξωξωξ
XdXXttM
t
t
,
где t ≤ τ
*
≤ t + ∆. Подставив полученный результат в (49) и перейдя к пределу
при ∆ → +0, находим
a(X,t) = Ψ(X,t).
(62)
А так как
Θ≡
τ⋅τψ⋅
τ⋅τψ⋅
∆
∫∫
∆+∆+
+→∆
T
t
t
t
t
0
d),X(d),X(
1
lim ,
(здесь Θ - нулевая матрица), то согласно (50), (59)-(61)
)t,X(G)t,X(Gd),X(G),X(G
1
lim)t,X(
T
t
t
T
0
⋅=
τ⋅τ⋅τ⋅
∆
=
∫
∆+
+→∆
b . (63)
6.2.3. Стохастические модели состояния и уравнения Колмогорова
Равенства (62), (63) устанавливают связь между стохастической
моделью состояния в форме Ито
(58) и уравнениями Колмогорова при
довольно жестких ограничениях. Поэтому возникает естественное желание
ослабить эти ограничения и получить уравнения Колмогорова,
непосредственно исходя из
стохастической модели состояния.
Пусть ξ(t,ω), t ∈ T n-мерный случайный процесс, удовлетворяющий
стохастической модели состояния (58) в форме Ито, a f
ξ
(X|t) – его
одномерная функция плотности вероятностей. Определим
характеристическую функцию
изучаемого случайного процесса ξ(t,ω),
t ∈ T:
[
]
∫
ξ
⋅λ⋅ωξ⋅λ⋅
⋅≡=λ
n
R
Xi),t(i
dX)t|X(feeM
€
)t,(g,
54
А так как Ψ(X,t) непрерывна по t, то из (59), согласно (60) и теореме о
среднем, имеем
                                                           t+∆
            M [ξ (t + ∆, ω ) − ξ (t , ω ) | ξ = X ] = ∫ Ψ ( X ,τ ) ⋅ dτ = Ψ ( X ,τ * ) ⋅ ∆ ,
                                                               t


где t ≤ τ* ≤ t + ∆. Подставив полученный результат в (49) и перейдя к пределу
при ∆ → +0, находим
                                                         a(X,t)                      =         Ψ(X,t).
(62)

       А так как
                           1  t +∆           t+∆                  
                                                                      T


                     ∆ →+0 ∆  ∫
                     lim  ⋅  ψ(X, τ) ⋅ dτ  ⋅  ∫ ψ (X, τ) ⋅ dτ   ≡ Θ ,
                            t               t                    

(здесь Θ - нулевая матрица), то согласно (50), (59)-(61)
                             1 t +∆                       
            b(X, t ) = lim  ⋅ ∫ G (X, τ) ⋅ G T (X, τ) ⋅ dτ = G (X, t ) ⋅ G T (X, t ) .        (63)
                       ∆ →+0 ∆
                                 t                        

         6.2.3. Стохастические модели состояния и уравнения Колмогорова
       Равенства (62), (63) устанавливают связь между стохастической
моделью состояния в форме Ито (58) и уравнениями Колмогорова при
довольно жестких ограничениях. Поэтому возникает естественное желание
ослабить       эти      ограничения             и        получить          уравнения      Колмогорова,
непосредственно исходя из стохастической модели состояния.
       Пусть ξ(t,ω), t ∈ T n-мерный случайный процесс, удовлетворяющий
стохастической модели состояния (58) в форме Ито, a fξ(X|t) – его
одномерная           функция              плотности                 вероятностей.           Определим
характеристическую функцию изучаемого случайного процесса ξ(t,ω),
t ∈ T:

                                          [          ]
                          g (λ, t ) =€ M e i⋅λ⋅ξ ( t ,ω) ≡ ∫ e i⋅λ⋅X ⋅ f ξ (X | t )dX ,
                                                          Rn

                                                                                                   54

Страницы