Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 67 стр.

     Применив интегральное преобразование Лапласа по переменному ρ,
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого
порядка     относительно          изображения                  по       Лапласу        E(λ, s, x)      функции
ln g(λ, ρ, x):
                          ∂E        m2 ⋅ л2
                     б⋅л⋅    −s⋅E =         −i⋅л⋅x ,                             λ ∈ R,
                          ∂л         2⋅s

которое можно решить стандартными методами. Из свойств условной
функции       плотности          вероятностей                 f(t, x,     τ,     y)      и     связи    между
характеристической функцией g(λ, ρ, x) и функцией f(t, x, τ, y} следует, что
                                              ∞

                              g(0, ρ, x ) = ∫ f (t , x , τ, y ) ⋅ dy ≡ 1 .
                                              −∞

     Поэтому
                             ln g(0, ρ, x) ≡ 0,               E(0, s, x) ≡ 0
и
                                               m2                 i⋅x
                      E(λ, s, x ) = −                      ⋅ λ2 +     ⋅λ.
                                      2 ⋅ s ⋅ (s − 2 ⋅ α )        s−α
     По изображению Е находим оригинал ln g:
                                                                λ2 ⋅ m 2
                    ln g(λ, ρ, x ) = i ⋅ л ⋅ x ⋅ e   - α ⋅ρ
                                                              −          ⋅ (1 − e - 2⋅α⋅ρ ).
                                                                 4⋅α
     Теперь      достаточно        записать           выражение                для     характеристической
функции       g(λ, ρ, x)     и     при        помощи                обратного           экспоненциального
преобразования Фурье перейти к условной функции плотности вероятностей
f(t, x, τ, y). Но обратим внимание на то, что в правой части полученного
равенства записан натуральный логарифм характеристической функции для
нормального распределения                 с математическим ожиданием x⋅e–α⋅ρ и
дисперсией (m2/2 ⋅ α)(1 – e–          2⋅α⋅ρ
                                           ). Поэтому с учетом обозначения ρ =€ τ − t
получаем



                                                                                                            67