Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 70 стр.

Колмогорова (75) с граничными условиями (76) и начальными условиями
(66) или (67).
      Пусть ξ(t, ω), t ∈ T – скалярный марковский процесс, определенный в
 параграфе 4.4. Найдем вероятность того, что в течение времени τ значения
   рассматриваемого случайного процесса не выйдут за пределы ±h, если
                                               ξ(0, ω) ≡ 0.
     В соответствии с результатами, предыдущего параграфа, приходим к
смешанной задаче (75), (76), (66) для уравнения Колмогорова, решением
которой является функция плотности вероятностей W(τ, y):
      ∂W(ф,y ) m 2 ∂ 2 W(ф,y )        ∂ (y ⋅ W(ф,y ))
                =       ⋅       + б ⋅                 ;                   ф> 0;     y > h;
        ∂ф        2      ∂ y 2              ∂y
       W(ф,y ) = д(y );                                                                           (77)
       W(ф,− h ) = W(ф,h ) = 0
      
      

Для решения задачи (77) можно воспользоваться методом Фурье разделения
переменных. В этом случае
                                        W(τ, y) = A(τ) ⋅ B(y),

где функция В(у) является решением задачи Штурма – Лиувилля:
                  B ′′( y ) + 2 ⋅ m −2 ⋅ [ y ⋅ B ( y )]′ + λ2 ⋅ B ( y ) = 0,   y > h,
                                                                                                  (78)
                   B(-h) = B(h) = 0,

а функция A(τ) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
первого порядка
                                            1 2 2
                                 A′(τ ) +     ⋅ m ⋅ λ ⋅ A(τ ) = 0 , τ > 0.                         (79)
                                            2
     Как известно, ортонормированная система решений задачи Штурма –
Лиувилля (78) может быть представлена в виде

                                α        2        2 ⋅α 
          Bk ( y ) = ck ⋅ exp −      ⋅ y   ⋅ Dνk 
                                                    m ⋅ y  ,                    k = 1, 2, … ,
                              2 ⋅ m2                     


                                                                                                          70