Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

где D
ν
(z) – функция параболического цилиндра (функция Вебера – Эрмита);
ν
k
= m
2
⋅ λ
k
2
/ α – порядок функции параболического цилиндра, определяемый
из уравнения
0
2
=
⋅
⋅
h
m
D
α
ν
;
c
k
– нормирующий множитель, который можно вычислить по формуле
2
1
2
2
−
−
∫
⋅
⋅
⋅
=
h
h
kk
dyy
m
Dc
α
ν
.
Используя свойство ортонормированности системы функций {B
k
(y)} с
весом ρ(у) = exp(α ⋅ m
– 2
⋅ y
2
) и равенства D
ν
(0) = 1, получим разложение
( ) () ()()
∑
()
∞
=
⋅δ=δ=
1
0
k
kk
yByB,y)y(y,W,
где
() ()()
k
h
h
kkk
cdyy
m
Dy
m
cy
m
yBy ≡
∫
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅−⋅⋅
⋅=
−
ααα
δ
ν
2
expexp,
2
2
2
2
,
Таким образом, если λ
2
= λ
k
2
≡ α⋅ν
k
/m
2
, то решение уравнения (79) имеет вид
A
k
(τ) = c
k
⋅exp(–0.5⋅α⋅ν
k
⋅τ) и можно записать разложение для условной
функции плотности вероятностей
() () ()
⋅
⋅
⋅
∑
⋅
⋅
−
⋅⋅
−⋅=
∑
⋅=
∞
=
∞
=
y
m
D
m
y
cyBAkW
k
k
k
k
k
kk
αα
τννα
ττ
ν
2
2
2
exp,
1
2
2
2
1
.
Для получения окончательного результата достаточно воспользоваться (74)
при u
1
= –h и u
2
= h:
()
∫
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∑
⋅⋅
−⋅=
−
∞
=
h
h
k
k
k
k
dyy
m
D
m
y
cP
αα
τνα
τ
ν
2
2
exp
2
exp
2
2
1
2
,
где
ν
k
, k = 1, 2, … – корни уравнения
⋅⋅
m
h
D
α
ν
2
;
71
где Dν(z) – функция параболического цилиндра (функция Вебера – Эрмита);
νk = m2 ⋅ λk2 / α – порядок функции параболического цилиндра, определяемый
из уравнения
                                                   2 ⋅α 
                                               Dν      ⋅h = 0;
                                                   m     
ck – нормирующий множитель, который можно вычислить по формуле
                                                                               1
                                                                           −
                                          h         2 ⋅α                   2
                                    ck =  ∫ Dν2k      ⋅ y  ⋅ dy            .
                                           −h       m               
      Используя свойство ортонормированности системы функций {Bk(y)} с
весом ρ(у) = exp(α ⋅ m– 2 ⋅ y2) и равенства Dν(0) = 1, получим разложение
                                                      ∞
                               W (0, y ) = δ( y) = ∑ (δ(y ), B k (y )) ⋅ B k (y ) ,
                                                     k =1

где
                           h
                                  α    2            α      2         2 ⋅α 
  (δ ( y ), Bk ( y )) =     ∫ exp 2 ⋅ y  ⋅ ck ⋅ exp − 2 ⋅ y  ⋅ Dνk      ⋅ y  ⋅ dy ≡ ck ,
                           −h    m                  m                m       

Таким образом, если λ2 = λk2 ≡ α⋅νk/m2, то решение уравнения (79) имеет вид
Ak(τ) = ck⋅exp(–0.5⋅α⋅νk⋅τ) и можно записать разложение для условной
функции плотности вероятностей
                 ∞                         ∞              α ⋅νν k ⋅ τ α ⋅ y 2          2 ⋅α 
  W (τ , k ) = ∑ Ak (τ ) ⋅ Bk ( y ) =      ∑ ck
                                               2
                                                   ⋅ exp −          −          ⋅ Dνk 
                                                                              2         m ⋅ y  .
                k =1                      k =1                2        2 ⋅ m                  

Для получения окончательного результата достаточно воспользоваться (74)
при u1 = –h и u2 = h:
                       ∞             α ⋅ν k ⋅τ  h       α ⋅ y2           2 ⋅α 
          P (τ ) =    ∑ ck
                          2
                               ⋅ exp −          ⋅ ∫ exp          ⋅ Dνk 
                                                                  2         m ⋅ y  ⋅ dy ,
                     k =1                2      −h       2 ⋅ m                  
                                           2 ⋅α ⋅ h 
где νk, k = 1, 2, … – корни уравнения Dν            ;
                                             m       



                                                                                                       71

Страницы