Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 74 стр.

                             a(x, t) ≡ a(x),             b(x, t) ≡ b(x),
то математическое ожидание ρ можно определить, не используя (81).
Действительно, в этом случае условная функция плотности вероятностей
W(τ, y) будет зависеть не от t и τ, а от разности τ – t. Поэтому
                                            ∂W     ∂W
                                                =−     .
                                             ∂t     ∂τ
    До того момента, когда значения случайного процесса ξ(τ, ω), t ∈ T
достигают границы допустимой области, функция W(t, x) является решением
первого уравнения Колмогорова:
                           ∂W             ∂W 1           ∂2W
                               + a (x ) ⋅   + ⋅ b( x ) ⋅      = 0.
                            ∂t            ∂x 2           ∂x 2
    Заменив в этом уравнении Wt′ на − Wτ′ и проинтегрировав его по
переменной у в пределах от u1 до u2 с учетом равенства (74) приходим к
дифференциальному уравнению в частных производных относительно Р(τ):
                                ∂P            ∂P 1          ∂ 2P
                                   = a (x ) ⋅   + ⋅ b( x ) ⋅ 2 .
                                ∂τ            ∂x 2          ∂x
    Так как, согласно определению вероятности Р(τ), имеют место равенства
                                     P(t) = l,          P(∞) = 0,
то после интегрирования этого уравнения по τ в пределах от t до +∞ в
соответствии       с      равенством             (81)          приходим      к    обыкновенному
дифференциальному уравнению второго порядка относительно ρ = ρ (x ) :
           1
             ⋅ b(x ) ⋅ ρ ′′(x ) + a (x ) ⋅ ρ ′(x ) + 1 = 0 ,      u1 < x < u2 ,         (82)
           2

дополняемому очевидными краевыми условиями
                                           ρ (u 1 ) = ρ (u 2 ) = 0 ,                     (83)

    В условиях примера из предыдущего раздела примем коэффициент
диффузии равным b(x) ≡ m2, а коэффициент сноса а(x) = –α⋅x. Тогда краевая
задача (82), (83) относительно ρ (x ) примет следующий вид:

                                                                                                74