Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 75 стр.

                        1
                       − ⋅ m 2 ⋅ ρ ′′(x ) − α ⋅ x ⋅ ρ ′(x ) + 1 = 0 ,   |x| < h,
                        2
                                        ρ (− h ) = ρ (h ) = 0 .
    Понизив порядок уравнения, без особых трудностей находим значение
математического ожидания времени пребывания значений исходного
случайного процесса в пределах ±h в зависимости от его начального
значения x:

                       2
                           x
                                    x
                                           α ⋅ z2                α ⋅ y2 
              ρ (x ) = 2 ⋅ ∫  C − ∫ exp −   2 
                                                    ⋅ dz  ⋅ exp −   2 
                                                                             ⋅ dy ,
                      m − h        −h       m                     m    

                                                        α
                                                                  (         ) ⋅ dz ⋅ dy .
                                                h  y
                               1
              C=                              ⋅ ∫ ∫ exp 2 ⋅ y 2 − z 2
                   h       α ⋅ y2            −h −h   m                    
                    ∫ exp − 2  ⋅ dy
                   −h      m 
    Отметим, что (80), (81) справедливы и для векторных марковских
процессов.
    Среднее число выбросов значений марковского процесса за данный
уровень. Задача определения среднего числа выбросов значений марковского
процесса за данный уровень в единицу времени, для каждого из которых
время пребывания вне допустимой области больше заданного значения ρ0,
сводится к решению соответствующих задач для уравнений Колмогорова.
При этом логика решения исходной задачи аналогична логике решения
задачи об определении вероятности пребывания значений марковского
процесса в заданной области.
    Рассмотрим временной интервал (t, t + ∆t) ∈ T, в течение которого
значения марковского скалярного процесса ξ(t, ω), t ∈ T пересекли уровень
y = u2. При этом условии вероятность того, что к моменту времени (t, τ) ∈ Т
значения изучаемого случайного процесса принадлежат интервалу (y, у + dy)
и ни разу за промежуток времени (t, τ) не опускаются ниже уровня у = u2,
представим в виде произведения υ(τ, y)∆. Это представление верно с
точностью о(∆). А так как длина ∆ временного интервала (t, t + ∆) не зависит

                                                                                              75