Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 106 стр.

      В математической статистике доказано, что стохастическую
зависимость между величинами Xk и XA дает регрессия, т.е. математическое
ожидание (среднее значение ) величины Xk, вычисленное при условии, когда
величина XA примет определенное значение. Поэтому идеальной целью
можно считать отыскание уравнения регрессии.
      Однако точное уравнение регрессии можно написать зная среднее
значение Xk для всех допустимых XA . В практических же наблюдениях такая
ситуация невозможна. Более того, даже отдельные значения средних
составляющей Xk ,не могут быть найдены точно, а допускаются лишь
приближенные оценки. В связи с этим можно искать лишь уравнения
приближенной регрессии, оценивая тем или иным способом величину и
вероятность этой приближенности.
      Для того чтобы получить уравнение приближенной регрессии, то есть
найти зависимость составляющей Xk от XA , составляющей XA задают ряд
значений XA1, …, XAi, …….., XAn и при каждом этом значении измеряют
значение составляющей Xk .Результаты заносят в таблицу 3.

Таблица 3 Значения для построения линии регрессии
    XA          XAi          …           XAI             …            XAn
    Xk          Xk1          …           Xki             …            Xkn

     Основным способом отыскания уравнения регрессии является принцип
наименьших квадратов. Этот принцип утверждает, что наилучшее уравнение
приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для
которой сумма квадратов:
                  n
            S = ∑ [X ki − ψ ( X Ai , α 1 ,..., α l )]
                                                    2
                                                                        (2.16)
                 i =1

      имеет наименьшее значение.
      В формуле (2.16) α 1 ,...,α l - неопределенные параметры (коэффициенты),
входящие в аналитическое выражение уравнения регрессии.
      Величина суммы S зависит, с одной стороны, от вида уравнения
регрессии X k = Ψ (α 1 ,...,α l ) , с другой стороны от численных значений
коэффициентов α 1 ,...,α l .
      Для того чтобы сумма S, была минимальна, во – первых, должен быть
известен заранее из соображений аналогии, из теоретических рассуждений
или из сравнения эмпирических данных с известными функциями. Наиболее
трудной задачей является подбор типа регрессии непосредственно по
изучаемой зависимости совершенно не известны. При этом желательно
всегда выбирать такой вид уравнения регрессии, чтобы число 1
неопределенных коэффициентов α 1 ,...,α l было значительно меньше числа
изменения n.
      Пусть исходя из тех или иных соображений, выбран вид уравнения
регрессии. Тогда величину суммы S (2.16) , можно рассматривать как
функцию от коэффициентов α 1 ,...,α l . Теперь задача состоит в том, чтобы
                                                                            106