Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

113
Здесь
)(
2
12
TT
w
−
=
π
- круговая частота первой гармоники;
∫
−
−
=
2
1
;sin)(
2
1
12
T
T
k
kwtdtTt
TT
a
φ
.sin)(
2
2
1
1
12
∫
−
−
=
T
T
k
kwtdtTt
TT
b
φ
Формулу (2.33) перепишем в виде
∑
∞
=
++=
1
0
),sin(
2
)(
k
kk
kwtA
b
t
φφ
(2.34)
;
22
kkk
baA += .
k
k
k
a
b
arctg=
φ
Как видно из формулы (2.34) сигнал
)(t
φ
представлен в виде суммы его
постоянной составляющей
2
0
b
и бесконечного числа гармонических
составляющих
)sin(
kk
kwtA
φ
+ .
На практике очень часто число членов ряда (2.34) ограничивают
конечным числом n, выбирая величину n так, чтобы 95 % энергии сигнала
было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до nw.
Энергия сигнала
)(t
φ
существующего на интервале времени от T
1
до T
2,
определяется по формуле:
.)(
2
1
2
dttE
T
T
∫
=
φ
(2.35)
Подставляя в выражение (2.35) значение
)(t
φ
из формулы (2.33),
представим энергию сигнала в функции коэффициентом ряда Фурье:
∑∑
∞
=
∞
=
−
=+
−
=
0
2
12
0
22
12
2
)(
2
k
k
k
kk
A
TT
ba
TT
E . (2.36)
Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье,
которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по
формуле:
∑
=
−
=
n
k
k
A
TT
E
0
2
12
2
95.0
. (2.37)
Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как
верхнюю граничную частоту спектра, которая принимается равной частоте
наивысшей гармоники, т.е.
12
22 TT
nnw
w
F
b
b
−
===
ππ
. (2.38)
Энергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы
определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю
граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических
характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо 
                     2π
      Здесь w =              - круговая частота первой гармоники;
                  (T2 − T1 )
                            T
                   2      2



                T2 − T1 T∫1
           ak =             φ (t − T1 ) sin kwtdt ;
                            T
                     2      2



                  T2 − T1 T∫1
           bk =               φ (t − T1 ) sin kwtdt.

     Формулу (2.33) перепишем в виде
                       b0 ∞
           φ (t ) =      + ∑ Ak sin(kwt + φ k ),                              (2.34)
                       2 k =1
                                                       bk
           Ak = a k2 + bk2 ;            φ k = arctg       .
                                                       ak
     Как видно из формулы (2.34) сигнал φ (t ) представлен в виде суммы его
                                          b0
постоянной составляющей                          и бесконечного числа гармонических
                                          2
составляющих Ak sin(kwt + φ k ) .
      На практике очень часто число членов ряда (2.34) ограничивают
конечным числом n, выбирая величину n так, чтобы 95 % энергии сигнала
было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до nw.
      Энергия сигнала φ (t ) существующего на интервале времени от T1 до T2,
определяется по формуле:
                  T2

           E = ∫ φ 2 (t )dt.                                                  (2.35)
                  T1

     Подставляя в выражение (2.35) значение φ (t ) из формулы (2.33),
представим энергию сигнала в функции коэффициентом ряда Фурье:

                  T2 − T1 ∞ 2             T −T ∞
           E=            ∑
                     2 k =0
                            (a k + bk2 ) = 2 1 ∑ Ak2 .
                                            2 k =0
                                                                              (2.36)
     Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье,
которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по
формуле:
                         T2 − T1 n 2
           0.95E =              ∑ Ak .
                            2 k =0
                                                                              (2.37)
     Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как
верхнюю граничную частоту спектра, которая принимается равной частоте
наивысшей гармоники, т.е.
                   wb nw    n
           Fb =      =   =       .                                            (2.38)
                   2π 2π T2 − T1
     Энергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы
определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю
граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических
характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо


                                                                                113

Страницы