Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

119
Простейший одномерной моментной характеристикой стационарного
случайного процесса
)(tX является начальный момент первого порядка,
называемый математическим ожиданием
[
]
)(tXM
m
x
= .
Для получения оценки
m
x
математического ожидания используется
преобразование вида
[]
)(tX
M
m
x
∧
∧
= , (3.4)
где
[.]M
∧
- оператор усреднения.
В зависимости от вида этого оператора оценки математического
ожидания будут обладать различными свойствами. Наибольшее применение
на практике получили следующие операторы усреднения:
[]
∑
=
∧
∆=
n
k
kX
n
tX
M
1
1
)(
1
)( , (3.5)
[]
∫
=
∧
T
dttX
T
tX
M
0
2
)(
1
)(
, (3.6)
[]
∫
−=
∧
t
dtXhtX
M
0
3
)()()(
τττ
, (3.7)
где Т – время измерения (длительности реализации);
∆ - шаг дискретизации во времени сигнала
)(tX ;
∆
=
T
n
.
Оператор усреднения вида (3.5) технически может быть реализованы
или цифровыми интеграторами, или цифровыми вычислительными
машинами. Для определения погрешностей оценки математического
ожидания при помощи этого оператора обратимся к формулам (3.2), (3.5). В
результате получим
0
1
=
γ
C
, (3.8)
{}
∑∑
==
∆−=
n
j
n
v
x
x
x
C
vk
n
m
11
2
1
)(
1
ρ
σ
γ
, (3.9)
здесь
σ
x
и )(
τ
ρ
x
соответственно среднеквадратическое отклонение и
нормированная автокорреляционная функция процесса. Так как 
     Простейший одномерной моментной характеристикой стационарного
случайного процесса X (t ) является начальный момент первого порядка,
называемый математическим ожиданием m x = M [X (t )] .
     Для получения оценки m x математического ожидания используется
преобразование вида
             ∧               ∧

             m       x
                         = M [ X (t )] ,                                             (3.4)

             ∧
      где M [.] - оператор усреднения.
      В зависимости от вида этого оператора оценки математического
ожидания будут обладать различными свойствами. Наибольшее применение
на практике получили следующие операторы усреднения:
                 ∧                              n
                           1
             M 1 [X (t )] = ∑ X (k∆) , n       k =1
                                                                                     (3.5)

                 ∧                             T
                           1
             M 2 [X (t )] = ∫ X (t )dt ,
                                       T
                                                                                     (3.6)
                                               0



                 ∧                     t

             M 3 [X (t )] = ∫ h(τ ) X (t − τ )dτ ,                                   (3.7)
                                       0



     где Т – время измерения (длительности реализации);
                                                                           T
         ∆ - шаг дискретизации во времени сигнала X (t ) ; n =               .
                                                                           ∆
     Оператор усреднения вида (3.5) технически может быть реализованы
или цифровыми интеграторами, или цифровыми вычислительными
машинами. Для определения погрешностей оценки математического
ожидания при помощи этого оператора обратимся к формулам (3.2), (3.5). В
результате получим

             γ   C1
                         =0,                                                         (3.8)


             γ           =   σ   x     1           n   n

                                               ∑ ∑ ρ {(k − v)∆} ,                    (3.9)
                                           2
                 C1
                             m n x
                                                j =1 v =1
                                                            x




     здесь   σ       x
                         и   ρ   x
                                     (τ ) соответственно среднеквадратическое отклонение и
нормированная автокорреляционная функция процесса. Так как



                                                                                      119

Страницы