Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 136 стр.

                                            N
                                        1
               ∆ = ∫ R x (τ )dτ −
                                        α
                                          ∑βm=0
                                                       2
                                                       m   .                  (4.23)


     Отсюда видно, что при прочих равных условиях величина погрешности
аппроксимации ∆ зависит от величины параметра α функции Лагерра.
     Принимая во внимание формулы (4.20) и (4.22), можно показать, что
при α=0 и при α=∞ величина ∆=∞, т.е. существует оптимальное значение α,
при котором ∆ минимальна.
     Найдем это оптимальное значение. Рассматривая ∆ как функцию α,
получим следующее условие минимума величины ∆:

               ∂∆      
                   =0 
               ∂α      
                       .                                                     (4.24)
               ∂ ∆
                2
                    > 0
               ∂α 2    


         Из уравнения (4.23) находим

               ∂∆   1         N
                                            2    N
                                                               ∂β m
                  = 2
               ∂α α
                              ∑β
                              m=0
                                    2
                                    m   −
                                            α
                                              ∑βm =0
                                                           m
                                                                ∂α
                                                                    .         (4.25)


         Из выражений (4.22) и (4.20) имеем

               ∂β m     m           1      m +1
                    =−    β m −1 +    βm +      β m +1 .                      (4.26)
                ∂α     2α          2α       2α

                       ∂β m
         Подставив          из уравнения (4.26) в уравнение (4.25), получим
                        ∂α

               ∂∆    N +1
                  = − 2 β N + β N +1 .                                        (4.27)
               ∂α     α

     Отсюда видно, что оптимальное значение параметра α должно
находиться из уравнения

               β N +1 = 0 .                                                   (4.28)

         При этом должно быть выбрано такое решение уравнения, при котором
∂ ∆
 2

         > 0 . Последнее условие с учетом (4.26) – (4.28), примет вид
∂α   2




               ( N + 1) β N > ( N + 2) β N + 2 .                              (4.29)


                                                                                136