Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 141 стр.

     Проанализируем влияние вида функции H(τ) на погрешность от
смещенности. Оценка (4.35) с учетом того, что применен фильтр с
импульсной характеристикой (4.36) примет вид
                              o    ∞          o
              ν€k = M€ [ X (t ) ∫ τ k H (τ ) X (t − τ )dτ ] .
                                   0

        Абсолютное значение погрешности от смещенности этой оценки будет
равно
                                          ∞
              ∆ C = M [ν€k ] − ν k = ∫ τ k {H (τ ) − 1}Rx (τ )dτ .      (4.37)
                                          0

     Из выражения (4.37) видно, что погрешность от смещенности будет
меньше, чем функция H(τ) отличается от единицы. Вполне понятно, что
обеспечить близость функции H(τ) к единице на всем интервале (0≤τ<∞)
невозможно. Но в этом и нет необходимости, так как корреляционная
функция анализируемого процесса существенно отличается от нуля лишь на
ограниченном интервале времени, соизмеримом с интервалом корреляции
анализируемого процесса.
     Поэтому надо стремиться к тому, чтобы обеспечить близость функции
H(τ) к единице лишь на ограниченном интервале времени, на котором
функция корреляции исследуемого процесса существенно отлична от нуля.
     При этом, так как значения R x (τ ) наиболее весом при малых τ (τ<τк), то
именно при малых τ и является целесообразным обеспечивать близость
функции H(τ) к единице. При малых τ функция H(τ) может быть
представлена в виде ряда Маклорена:
                             ∞
                                          1 k
              H (τ ) = ∑ H ( k ) (0)         τ ,                        (4.38)
                            k =0          k!

        где

                                H (0) = 0
                               
              H   (k )
                         (0) =  d k H (τ )       .
                                           τ > 0
                                dτ k
        Из формулы (4.38) следует понимать, что если выполнить условие

              H (0) = 1, H ( k ) = 0 при k = 1,2,..., N ,               (4.39)

      то чем больше величина N, тем при прочих равных условиях функция
H(τ) будет меньше отличаться от единицы при малых τ.
      Итак, функцию H(τ) надо выбирать в соответствии с условием (4.39).
Одним из вариантов решения этой задачи является следующий.
      Для того, чтобы импульсная переходная характеристика была
абсолютно интегрируемой функцией, выберем функцию H(τ) вида


                                                                          141