Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 177 стр.

                                                             ∞
       Функция распределения: F ( x0) = ∫ Ψ ( x) f ( x)dx;
                                                             −∞

                                                  ∂Ψ ( x )                ∂Ψ ( x ) 
                                                    ∞
                                         ∂F
                 f ( x0 ) = F ( x0 ) =        = ∫          f ( x )dx = M           .                         (6.3)
                                         ∂ x 0 − ∞ ∂x 0                    ∂ x 0 



     Оценку получим заменой в соотношении                                                     (6.3)    оператора
математического ожидания на оператор усреднения:

                               ∂Ψ{X (t )}
                 f€(x0 ) = M€            .                                                                   (6.4)
                               ∂x0 

     Структура устройства для определения оценки плотности вероятности
показана на рисунке 51.


                X(t)                     ∂Ψ ( x )                                                 f€( x0)
                                          ∂x0                                   У
                                         ∂Ψ ( x )
                                          ∂x0

     Рисунок 52 – Структурная схема устройства для измерения плотности
вероятности по алгоритму (64)

                                                                           ∂Ψ
       Однако,         в     точке          x0          производная            = ∞,      то     есть        функция
                                                                           ∂x0
преобразования представляет собой дельта-функцию, что технически не
реализуемо. Надо искать какой-то другой функциональный преобразователь
ФП, но при этом возникает погрешность от смещенности.
     Плотность вероятности – это такая вероятностная характеристика,
оценка которой всегда принципиально смещена из-за нереализуемости
алгоритма.
     Представим значение плотности вероятности в точке x=x0 в виде

                                                                          ∆x              ∆x 
                                                                 F  x0 +        − F  x0 −    
                                F ( x0 + ∆x ) − F ( x0 )                   2              2 
f ( x0 ) = F ( x0 ) = lim                                = lim                                    ,            (6.5)
                      ∆x → 0             ∆x               ∆x → 0                 ∆x
                              F ( x0 + ∆x ) − F ( x0 )
                    λ (x0 ) =                          ;    lim λ ( x0 ) = f ( x0 ) .                          (6.6)
                                        ∆x                ∆x → 0

      То есть, если оценивать λ (x0 ) и брать достаточно малую ∆x, то можно
получить оценку плотности распределения f€(x0 ) с достаточно высокими
метрологическими характеристиками.

          График функций Ψ (x0 ) и Ψ (x0 + ∆x ) − Ψ (x0 ) изображены на рисунке 52.

                                                                                                                177