Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

43
Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для
этого рассмотрим ее собственные свойства.
АКФ обладает свойством симметричности относительно своих
аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных
аргументов местами:
).,(),(
1221
ttRttR
xx
= (1.77)
2. По величине АКФ не может превышать произведения
среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:
).()(),(
2121
ttttR
xxx
δ
δ
≤ (1.78)
3. При совпадении временных аргументов АКФ превращается в
дисперсию:
)()(),(
0
2
tDtXMttR
xx
=
=
. (1.79)
То есть набор характеристик, необходимых для приближенного
описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: m
x
и R
x
(t).
Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t
1
=t
2
=t:
)(),(
2
tttR
xx
δ
≤ , то есть )(),( tDttR
xx
≤
. (1.80)
Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах,
и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.
На практике часто используют нормированную автокорреляционную
функцию, под которой понимают функцию вида:
.
)()(
)()(
)()(
),(
),(
21
2
0
1
0
21
21
21
tt
tXtXM
tt
ttR
tt
xxxx
x
x
σσσσ
ρ
==
(1.81)
Нормированная АКФ – величина безразмерная. По определению
нормированная АКФ – это коэффициент корреляции между двумя сечениями
случайного процесса.
Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при
переходе к нормированной функции: 
      Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для
этого рассмотрим ее собственные свойства.
      АКФ обладает свойством симметричности относительно своих
аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных
аргументов местами:

          R x (t1 , t 2 ) = R x (t 2 , t1 ).                               (1.77)


     2. По величине АКФ не может превышать произведения
среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:

          R x (t1 , t 2 ) ≤ δ x (t1 )δ x (t 2 ).                           (1.78)


     3. При совпадении временных аргументов АКФ превращается в
дисперсию:

                            0       
          R x (t , t ) = M  X 2 (t ) = D x (t ) .                        (1.79)
                                    

     То есть набор характеристик, необходимых для приближенного
описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: mx и Rx(t).
     Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t1=t2=t:

          R x (t , t ) ≤ δ x2 (t ) , то есть R x (t , t ) ≤ D x (t ) .     (1.80)

      Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах,
и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.

     На практике часто используют нормированную автокорреляционную
функцию, под которой понимают функцию вида:

                                                   0        0
                                                                      
                                                 M  X (t1 ) X (t 2 )
                              R x (t1 , t 2 )
          ρ x (t1 , t 2 ) =                     =                    .   (1.81)
                            σ x (t1 )σ x (t 2 )   σ x (t1 )σ x (t 2 )


     Нормированная АКФ – величина безразмерная. По определению
нормированная АКФ – это коэффициент корреляции между двумя сечениями
случайного процесса.

     Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при
переходе к нормированной функции:


                                                                              43

Страницы