Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

57
+
−
=∆ )()()(2)(
2
000
2
0
tXMtXtXMtXM
MM
причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.
[]
∑∑∑
===
==
N
k
N
k
kk
N
m
mkmkM
tDUUMtttX
11
2
1
0
2
),()()()(
ϕϕϕ
∑
∞
=
=
1
000
),()()()(
k
kk
M
tXtUtXtX
ϕ
,)()()()(
1
000
∑
∞
=
=
k
kk
M
tXUMttXtXM
ϕ
но
∑
=
=
N
k
kkk
tDtXUM
1
2
0
)()(
ϕ
, то есть
∑
=
=
N
k
kk
M
tDtXtXM
1
2
00
)()()(
ϕ
,
∑∑
==
+−=∆
N
k
kk
N
k
kkx
tDtDtD
1
2
1
2
min
)()(2)(
ϕϕ
,
∑
=
−=∆
N
k
kkx
tDtD
1
2
min
)()(
ϕ
. (1.120)
Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность убывает до
нуля, когда N стремится к бесконечности.
Выражение
∑
=
N
k
kk
tD
1
2
)(
ϕ
, будем считать дисперсией модели.
Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально
можно представить в виде
`
1
1
11min
)()(),( ttttDttR
N
k
kkkx
=
−=∆
∑
=
ϕϕ
. (1.121)
где R
x
(t,t
1
) - АКФ сигнала. Отсюда можно предложить, что
−=
∑
=
),()()(
1
1
1
ttRttD
M
N
k
kkk
ϕϕ
АКФ модели.
Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:
=
=
)()(),(
00
1
tXtXMttR
M
M
                02              0         0
                                                        02 
          ∆ = M  X M (t ) − 2 M  X M (t ) X (t ) + M  X (t )
                                                            

     причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.
               0               N       N                          N
           X M2 (t ) = ∑ ∑ ϕ k (t )ϕ m (t ) M [U k U m ] = ∑ Dk ϕ k2 (t ),
                           k =1 m =1                              k =1
           0           0                   ∞           0
           X M (t ) X (t ) = ∑ U k ϕ k (t ) X (t ),
                                           k =1

                  0
                              ∞   0
                                                  0
                                                         
          M  X M (t ) X (t ) = ∑ ϕ k (t ) M U k X (t ),
                             k =1                     

     но
                 0
                         N
          M U k X (t ) = ∑ Dk ϕ k2 (t ) , то есть
                        k =1
            0         0
                              N
          M  X M (t ) X (t ) = ∑ Dk ϕ k2 (t ) ,
                             k =1
                                                  N        N
          ∆ min = D x (t ) − 2∑ Dk ϕ k2 (t ) + ∑ Dk ϕ k2 (t ) ,
                                              k =1         k =1
                                             N
          ∆ min = D x (t ) − ∑ Dk ϕ k2 (t ) .                                            (1.120)
                                            k =1



      Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность убывает до
нуля, когда N стремится к бесконечности.
                           N
     Выражение         ∑D ϕ
                       k =1
                                       k
                                           2
                                           k   (t ) , будем считать дисперсией модели.

    Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально
можно представить в виде

                                    N
                                                          
          ∆ min =  R x (t , t1 ) − ∑ Dk ϕ k (t )ϕ k (t1 ) t = t1` .                    (1.121)
                                   k =1                  

     где Rx(t,t1) - АКФ сигнала. Отсюда можно предложить, что
           N

          ∑D ϕ
           k =1
                   k   k   (t )ϕ k (t1 ) = RM (t , t1 ) − АКФ модели.


     Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:

                           0         0
                                            
          RM (t , t1 ) = M  X M (t ) X (t ) =
                                           


                                                                                             57

Страницы