Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

60
∫
−
=
2
2
0
0
0
)cos()(
2
T
T
xx
dkwR
T
D
τττ
, избавляемся от T
o
:
TTT
w
π
π
π
===
2
22
0
, тогда
∫
−
=
T
T
xk
dkwR
T
D
τττ
)cos()(
1
.
Докажем, что эта модель является канонической., для этого вместо
τ
подставим его значение
∑
∞
=
−+=
1
1
0
1
))(cos(
2
),(
k
kx
ttkwD
D
ttR ,
но cos(kw(t-t
1
))=cos (kwt-kwt
1
)=cos(kwt) cos(kwt
1
)+sin(kwt) sin(kwt
1
),
тогда
∑
∞
=
++=
1
11
0
1
))sin()sin()cos()(cos(
2
),(
k
kx
kwtkwtkwtkwtD
D
ttR
Таким образом, сам сигнал может быть представлен в виде:
∑∑
∞
=
∞
=
++=
11
sincos)(
k
k
k
k
kwtVkwtUФtX . (1.125)
Коэффициенты разложения при этом обладают следующими
свойствами.
1.
0][][][
=
==
kk
VMUMФM , то есть все они центрированы.
2. Коэффициенты разложения некоррелированны между собой:
0][][
=
=
kk
ФVMФUM при любых k.
3.
=
≠
=
mkD
mk
UUM
k
mk
,
,0
][
.
4.
0][ =
mk
VUM
2
][
0
D
ФD =
.
То есть сигнал описывается разложением: 
                            T0
                             2
                      2
              Dx =
                      T0   −T0
                               ∫R   x   (τ ) cos(kwτ )dτ , избавляемся от To:
                            2

                    2π 2π π
              w=      =  = , тогда
                    T0 2T T

                           T
                  1
              Dk = ∫ R x (τ ) cos(kwτ )dτ .
                  T −T

     Докажем, что эта модель является канонической., для этого вместо τ
подставим его значение

                                 D0 ∞
              R x (t , t1 ) =      + ∑ Dk cos(kw(t − t1 )) ,
                                 2 k =1

        но cos(kw(t-t1))=cos (kwt-kwt1)=cos(kwt) cos(kwt1)+sin(kwt) sin(kwt1),
тогда


                                 D0 ∞
              R x (t , t1 ) =      + ∑ Dk (cos(kwt ) cos(kwt1 ) + sin(kwt ) sin(kwt1 ))
                                 2 k =1

        Таким образом, сам сигнал может быть представлен в виде:
                                  ∞                  ∞
              X (t ) = Ф + ∑ U k cos kwt + ∑ Vk sin kwt .                                     (1.125)
                                  k =1               k =1



     Коэффициенты                        разложения         при   этом    обладают        следующими
свойствами.

        1.    M [Ф] = M [U k ] = M [Vk ] = 0 , то есть все они центрированы.
        2. Коэффициенты разложения некоррелированны между собой:
              M [ФU k ] = M [ФVk ] = 0 при любых k.
                              0, k ≠ m
        3.    M [U k U m ] =             .
                              Dk , k = m
        4.    M [U k Vm ] = 0
                           D0
              D[Ф] =          .
                           2

        То есть сигнал описывается разложением:




                                                                                                  60

Страницы