Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

65
∫
−
∆=∆=
∆
T
T
x
k
wkSdwkR
w
D
)()cos()(
1
*
τττ
π
. (1.136)
Это – функция k
∆
w, обладающая свойствами:
),()(
**
wkSwkS ∆=∆−
то есть S
*
(k
∆
w) - четная функция своего аргумента, кроме того, она
неотрицательна.
Перейдем от D
k
к введенной нами функции:
)(
*
wkwSD
k
∆∆=
∫
−
∆=∆
T
T
x
dwkRwkS
τττ
)cos()(
2
1
)(
*
, (1.137)
∑
∞
−∞=
∆
∆∆=
k
wik
x
wewkSR
τ
τ
)(
2
1
)(
*
. (1.138)
Устремим
∆w к нулю, а интервал времени Т к бесконечности. S
*
(k
∆
w)
при неограниченном увеличении времени наблюдения называется
спектральной плотностью.
=
=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
.)cos()(
1
)(
)exp()(
2
1
)(
*
*
τττ
π
ττ
duRuS
dujuuSR
x
x
(1.139)
Вместо аргумента u и введем w:
=
=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
.)cos()(
1
)(
)exp()(
2
1
)(
*
*
τττ
π
ττ
dwRwS
dwjwwSR
x
x
(1.140)
Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала
обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной
функцией частоты.
Для того чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье –
преобразования от СПМ, переобозначим ее:
2
)(
)(
*
wS
wS =
. (1.141) 
           Dk 1 T
             = ∫ R x (τ ) cos(k∆wτ )dτ = S * (k∆w) .            (1.136)
           ∆w π −T

     Это – функция k∆w, обладающая свойствами:

           S * (−k∆w) = S * (k∆w),

     то есть S*(k∆w) - четная функция своего аргумента, кроме того, она
неотрицательна.
     Перейдем от Dk к введенной нами функции:

           Dk = ∆wS * (k∆w)
                             T
                           1
                           2 −∫T
           S * (k∆w) =           R x (τ ) cos(k∆wτ )dτ ,        (1.137)
                        1 ∞ *
           R x (τ ) =      ∑
                        2 k = −∞
                                S (k∆w)e ik∆wτ ∆w .             (1.138)


     Устремим ∆w к нулю, а интервал времени Т к бесконечности. S*(k∆w)
при неограниченном увеличении времени наблюдения называется
спектральной плотностью.

                       1
                          ∞

            R x (τ ) = ∫ S (u ) exp( juτ )du
                              *

                       2 −∞
                          ∞                                    (1.139)
            S * (u ) = 1 R (τ ) cos(uτ )dτ .
                      π −∫∞
                                x




     Вместо аргумента u и введем w:

                       1
                          ∞

            x
           
              R (τ  ) =    ∫
                        2 −∞
                             S * ( w) exp( jwτ )dw
                            ∞                                  (1.140)
            S * ( w) = 1 R (τ ) cos( wτ )dτ .
                      π −∫∞
                                 x




     Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала
обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной
функцией частоты.
     Для того чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье –
преобразования от СПМ, переобозначим ее:

                    S * ( w)
           S ( w) =          .                                  (1.141)
                       2



                                                                    65

Страницы