Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

66
В формулах произойдут следующие изменения
=
=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
.)cos()(
2
1
)(
)exp()(
2
1
)(
*
*
τττ
π
ττ
dwRwS
dwjwwSR
x
x
(1.142)
Рассмотрим свойства новой спектральной плотности:
;
2
)cos(
ττ
τ
jwjw
ee
w
−
+
=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+=
ττττττ
djwRdwR
xx
)exp()(
2
1
)cos()(
∫
∞
∞−
−+
τττ
djwR
x
)exp()(
2
1
.
В первом интеграле сделаем замену аргумента на
противоположный по знаку и т.к.
)()(
τ
τ
−
=
xx
RR , то
+−=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ττττττ
djwRdwR
xx
)exp()(
2
1
)cos()(
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−+
ττττττ
djwRdjwR
xx
)exp()()exp()(
2
1
,
то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
∫
∞
∞−
−=
τττ
π
djwRwS
x
)exp()(
2
1
)(
. (1.143)
Вывод: АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований
Фурье.
Сделаем подстановку: exp(jw
τ
)=cos(w
τ
) + jsin(w
τ
), тогда
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+= dwwwSjdwwwSR
x
)sin()()cos()()(
τττ
,
но так как СПМ является четной функцией, а синус – нечетной, то
второй интеграл равен нулю, и тогда
∫
∞
∞−
= dwwwSR
x
)cos()()(
ττ
, 
     В формулах произойдут следующие изменения

                       1
                          ∞

            x
           
              R ( τ ) =    ∫
                        2 −∞
                             S * ( w) exp( jwτ )dw
                            ∞                                                      (1.142)
           S * ( w) = 1 R (τ ) cos( wτ )dτ .
                      2π −∫∞
                                  x




     Рассмотрим свойства новой спектральной плотности:

                       e jwτ + e − jwτ
           cos( wτ ) =                 ;
                             2

            ∞                                 ∞
                                            1
            ∫ Rx (τ ) cos(wτ )dτ =
           −∞
                                            2 −∫∞
                                                  R x (τ ) exp( jwτ )dτ +
                  ∞
                1
                2 −∫∞
           +          R x (τ ) exp(− jwτ )dτ .


          В первом интеграле сделаем замену                                  аргумента   на
противоположный по знаку и т.к. R x (τ ) = R x (−τ ) , то

            ∞                                 ∞
                                            1
            ∫ Rx (τ ) cos(wτ )dτ =
           −∞
                                            2 −∫∞
                                                  R x (τ ) exp(− jwτ )dτ +
                  ∞                                 ∞
            1
           + ∫ R x (τ ) exp(− jwτ )dτ = ∫ R x (τ ) exp(− jwτ )dτ ,
            2 −∞                        −∞



     то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
                             ∞
                         1
           S ( w) =
                        2π   ∫R
                             −∞
                                  x   (τ ) exp(− jwτ )dτ .                          (1.143)


     Вывод: АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований
Фурье.
     Сделаем подстановку: exp(jwτ)=cos(wτ) + jsin(wτ), тогда
                        ∞                               ∞
           R x (τ ) =   ∫ S (w) cos(wτ )dw + j ∫ S (w) sin( wτ )dw ,
                        −∞                              −∞



     но так как СПМ является четной функцией, а синус – нечетной, то
второй интеграл равен нулю, и тогда
                        ∞
           R x (τ ) =   ∫ S (w) cos(wτ )dw ,
                        −∞


                                                                                         66

Страницы