Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

80
Математическое описание систем случайных сигналов в
частотной области
Пусть имеем два стационарных случайных сигнала X(t) и Y(t). Каждый
из них характеризуется своей корреляционной функцией
Для описания свойств системы сигналов в частотной области
используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая
определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной
функции:
∫
∞
∞−
−=
τττ
π
djwRwS
yxyx
)exp()(
2
1
)( . (1.170)
Рассмотрим свойства ВСП:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=
τττ
π
τττ
π
dwRjdwRwS
yxyxyx
)sin()(
2
1
)cos()(
2
1
)( . (1.171)
Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией
своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.
∫
∞
∞−
=
τττ
π
dwRwS
yxxy
)cos()(
2
1
)(Re - вещественная часть ВСП,
∫
∞
∞−
=
τττ
π
dwRwS
yxxy
)sin()(
2
1
)(Im - мнимая часть ВСП.
Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая – нечетной
функцией частоты.
)),(exp()()(Im)(Re)( wjwSwSjwSwS
yxyxyxyx
ϕ
−=−=
где
)(Im)(Re)(
22
wSwSwS
yxyxyx
+= - амплитудно – частотный спектр
сигнала, четная функция частоты,
=
)(Re
)(Im
)(
wS
wS
arctgw
yx
yx
ϕ
- фазо-частотный спектр.
В формуле (1.170) вместо w подставим - w: 
           Математическое описание систем случайных сигналов в
                          частотной области

      Пусть имеем два стационарных случайных сигнала X(t) и Y(t). Каждый
из них характеризуется своей корреляционной функцией
      Для описания свойств системы сигналов в частотной области
используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая
определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной
функции:
                               ∞
                           1
            S yx ( w) =
                          2π   ∫R
                               −∞
                                    yx   (τ ) exp(− jwτ )dτ .                                  (1.170)


     Рассмотрим свойства ВСП:
                               ∞                                ∞
                         1                                  1
            S yx ( w) =
                        2π     ∫−∞R yx (τ ) cos(wτ )dτ − j 2π   ∫R
                                                                −∞
                                                                     yx   (τ ) sin( wτ )dτ .   (1.171)


      Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией
своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.
                                    ∞
                                1
            Re S xy ( w) =
                               2π   ∫R
                                    −∞
                                          yx   (τ ) cos( wτ )dτ - вещественная часть ВСП,


                                    ∞
                                1
            Im S xy ( w) =
                               2π   ∫R
                                    −∞
                                          yx   (τ ) sin( wτ )dτ - мнимая часть ВСП.


     Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая – нечетной
функцией частоты.

            S yx ( w) = Re S yx ( w) − j Im S yx ( w) = S yx ( w) exp(− jϕ ( w)),


     где

            S yx ( w) = Re 2 S yx ( w) + Im 2 S yx ( w) - амплитудно – частотный спектр
сигнала, четная функция частоты,

                                Im S yx ( w) 
            ϕ ( w) = arctg                   - фазо-частотный спектр.
                                              
                                Re S yx ( w) 

     В формуле (1.170) вместо w подставим - w:


                                                                                                   80

Страницы