Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

85
∫∫ ∫
∞∞ ∞
∞−
−+−=
00
111
)exp()(
2
1
)()()(
ττττ
π
ττ
dddujwuuRhhwS
xy
.
Рассмотрим интеграл в скобках:
)exp()exp()(
)exp()(
2
1
)exp()exp(
))(exp()(
2
1
;
1
1
1
1
11
1
ττ
π
ττ
ττ
π
ττ
ττ
jwjwwS
dujwuuRjwjw
duujwuR
uu
dudu
uu
u
x
x
x
нв
−=
=−−=
=−+−=
−∞=∞=
=
−+=
+−
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
– подставим в исходный интеграл
{}{}
.)()()()()(
)exp()()exp()()(
)exp()exp()()()()(
2
0
1
0
11
0
1
0
11
jwWwSjwWjwWwS
djwhdjwhwS
ddjwjwhhwSwS
xx
x
xy
=−
=−=
=−=
∫∫
∫∫
∞∞
∞∞
ττττττ
ττττττ
(1.192)
То есть, спектральная плотность мощности выходного сигнала ЛДС
при подаче на нее стационарного случайного сигнала связана с СПМ
выходного сигнала через квадрат модуля частотной характеристики.
Если искать дисперсию, АКФ и ВКФ по соотношениям (1.189), (1.190)
и (1.191), то придется иметь с двойными интегралами, в то время как эти
характеристики можно найти проще, пользуясь найденной зависимостью
(1.192):
,)()()(
2
0
dwjwWwSdwwSD
xyy
∫∫
∞
∞−
∞
== (1.193)
то есть дисперсия, так же как и СПМ, зависит не от всей частотной
характеристики, а только от АЧХ.
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== .)exp()()()exp()()(
2
dwjwjwWwSdwjwwSR
xyy
τττ
Рассмотрим, какое практическое применение имеет найденная
зависимость. Спектр выходного сигнала зависит от СПМ выходного и
амплитудно-частотной характеристики системы.
Пусть на выход ЛДС подается белый шум, тогда 
                            ∞        ∞               1                   ∞                                    
           S y ( w) = ∫          ∫       h(τ )h(τ 1 )                ∫       R x (u − τ 1 + τ ) exp(− jwu )du dτdτ 1 .
                            0    0
                                                      2π              −∞
                                                                                                               

     Рассмотрим интеграл в скобках:

              u − τ1 + τ
           u = u1 + τ 1 − τ    1                                ∞

              du = du1
                            =
                              2π                            ∫−∞
                                                                    R x (u ) exp(− jw(u + τ 1 − τ ))du =

          u в = ∞; u н = −∞
                                        1 ∞
                                      2π ∫−∞
           = exp( jwτ ) exp(− jwτ 1 )          R x (u ) exp(− jwu )du =

           = S x ( w) exp( jwτ ) exp(− jwτ 1 )

          – подставим в исходный интеграл
                                           ∞       ∞
           S y ( w) = S x ( w) ∫               ∫       h(τ )h(τ 1 ) exp(− jwτ 1 ) exp( jwτ )dτdτ 1 =

                        {                                                     }{∫ h(τ ) exp( jwτ )dτ }=
                                           0   0
                            ∞                                                    ∞
           = S x ( w) ∫ h(τ 1 ) exp(− jwτ 1 )dτ 1                                                                          (1.192)
                            0                                                   0
                                                                                      2
           S x ( w)W ( jw)W (− jw) = S x ( w) W ( jw) .

      То есть, спектральная плотность мощности выходного сигнала ЛДС
при подаче на нее стационарного случайного сигнала связана с СПМ
выходного сигнала через квадрат модуля частотной характеристики.
      Если искать дисперсию, АКФ и ВКФ по соотношениям (1.189), (1.190)
и (1.191), то придется иметь с двойными интегралами, в то время как эти
характеристики можно найти проще, пользуясь найденной зависимостью
(1.192):

                    ∞                                   ∞                             2
           D y = ∫ S y ( w)dw = ∫ S x ( w) W ( jw) dw,                                                                     (1.193)
                   0                                    −∞



     то есть дисперсия, так же как и СПМ, зависит не от всей частотной
характеристики, а только от АЧХ.

                            ∞                                                    ∞                 2
           R y (τ ) = ∫ S y ( w) exp( jwτ )dw = ∫ S x ( w) W ( jw) exp( jwτ )dw.
                            −∞                                                   −∞



     Рассмотрим, какое практическое применение имеет найденная
зависимость. Спектр выходного сигнала зависит от СПМ выходного и
амплитудно-частотной характеристики системы.
     Пусть на выход ЛДС подается белый шум, тогда



                                                                                                                               85

Страницы