Методы оперативной обработки статистической информации: Учеб. пособие. Часть 1. Пивоваров Ю.Н - 104 стр.

     Зная плотность распределения системы величин и плотности
распределения отдельных величин, входящих в систему, можно
проверить, являются ли все величины (составляющие) X1,...,XN
взаимонезависимыми. Критерием взаимонезависимости является
выполнение условия

       f(x1,...,xN) = f(x1)f(x2)...f(xN)                                                        (2.1)

      Если это условие будет выполнено, то все параметры можно
рассматривать как взаимонезависимые. Если же окажется, что
условие (2.1) не выполняется, то это будет означать, что часть
величин X1,...,XN или все они являются взаимозависимыми. В этом
случае необходимо выявить взаимонезависимые и взаимозависимые
величины и затем найти алгоритм определения одних составляющих
через другие.
      Для решения этой задачи необходимо определить условные
плотности распределения каждой из составляющих X1,...,XN:

             x1                             f ( x1, ..., x N )
        f(        x 2 , ..., x N ) =   ∞
                                                                                                (2.2)
                                       ∫ f ( x1, ..., x N )dx1
                                       −∞
             xN                                  f ( x1, ..., x N )
        f(         x1 , ..., x N −1 ) =     ∞
                                                                                                (2.3)
                                            ∫ f ( x1, ..., x N )dx N
                                            −∞


      Критерием независимости величины Xk от всех остальных
является равенство

        f(xk/x1,...,xk-1,xk+1,...xn) = f(xk).                                                   (2.4)

       Невыполнение этого равенства будет означать, что величина
Xk функционально связана с какими-то из величин X1,...Xk-
1,Xk+1,...,Xn, а именно с теми, функцией которых является условная
плотность распределения величины Xk.
       Чтобы найти эту функциональную связь, надо определить
условное математическое ожидание величины Xk:

                                                 ∞
  x                                                                 xk
M  k ,..., x k −1, x k +1,..., x n  =
   x1
                                                 ∫                                    
                                                                                                (2.5)
                                               −∞ f x k ,..., x
                                                                k −1, x k +1,..., x n  dx k
                                                     x1                               