Методы оперативной обработки статистической информации: Учеб. пособие. Часть 1. Пивоваров Ю.Н - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

+−
−∞
∞
∫
1
2
Rjw
x
()exp( )ττdτ
В первом интеграле сделаем замену аргумента на
противоположный по знаку и т. к.
RR
xx
() ( )
τ
τ
=
−
, то
RwdR jwd
RjwdRjw
xx
xx
( ) cos( ) ( ) exp( )
()exp( ) ()exp( )
τττ τ ττ
ττττ
−∞
∞
−∞
∞
−
dττ
∞
∞
−
∞
∞
∫∫
∫∫
=−
+−=−
1
2
1
2
+
то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
Sw R jw d
x
() ()exp( )=−
−
∞
∞
∫
1
2π
τττ (1.143)
Вывод : АКФ и СПМ связаны между собой парой
преобразований Фурье.
Сделаем подстановку: exp(jw
τ
)=cos(w
τ
)+jsin(w
τ
), тогда
RSwwdwjSww
x
() ( )cos( ) ( )sin( )ττ=+
−∞
∞
dwτ
−
∞
∞
∫∫
,
70
но так как АКФ является четной функцией, а синус — нечетной, то
второй интеграл равен нулю, и тогда
RSww
x
() ( )cos( )ττ= dw
−
∞
∞
∫
,
то есть:
RSww
Sw R w d
x
x
() ( )cos( )
() ()cos( )
ττ
ττ
π
=
=
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
2
1
dw
τ
(1.144) 
                                          ∞
                                 +   1
                                     2    ∫ R x ( τ) exp( − jwτ)dτ
                                         −∞


     В первом интеграле сделаем замену аргумента                              на
противоположный по знаку и т. к. R x ( τ ) = R x ( − τ ) , то

           ∞                                       ∞

           ∫ R x ( τ) cos( wτ)dτ = 12 ∫ R x ( τ) exp( − jwτ)dτ +
           −∞                                      −∞
                   ∞                                    ∞
           +   1
               2   ∫ R x ( τ) exp( − jwτ)dτ = ∫ R x ( τ) exp( − jwτ)dτ
                   −∞                                   −∞


то есть спектральная плотность может быть записана в виде:

                                               ∞
                         S( w ) =         1
                                         2π    ∫ R x ( τ) exp( − jwτ)dτ   (1.143)
                                              −∞


     Вывод : АКФ и СПМ связаны между собой парой
 преобразований Фурье.
     Сделаем подстановку: exp(jw τ )=cos(w τ )+jsin(w τ ), тогда

                        ∞                                    ∞
           R x ( τ) =   ∫ S( w ) cos( wτ)dw + j ∫ S( w ) sin( wτ)dw ,
                        −∞                                   −∞



70
но так как АКФ является четной функцией, а синус — нечетной, то
второй интеграл равен нулю, и тогда

                                              ∞
                            R x ( τ) =        ∫ S( w ) cos( wτ)dw ,
                                          −∞
то есть:

                                  ∞

                                     ∫
                    R x ( τ ) = 2 S( w ) cos( wτ )dw
                                 −∞
                                                                         (1.144)
                                  ∞
                     
                     
                                1
                                     ∫
                     S( w ) = π R x ( τ) cos( wτ )dτ
                                  −∞

Страницы