Плоские кривые. - 1 стр.

                                       ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ


  Понятие кривой на (или линии) плоскости является обобщением понятия графика функции, а
кривые в пространстве — это объекты, обобщающие кривые на плоскости. Например, множество
точек на плоскости с координатами x и y, удовлетворяющих уравнению
                                               y 2 − x = 0,
«ничем не хуже» хорошо известной из школьного курса математики√параболы,√но не является
графиком никакой функции (оно «склеено» из двух графиков — y = x и y = − x). Мы начнём
изучение кривых с одного из важного класса, поскольку эти кривые играют чрезвычайно важную
роль в геометрии, алгебре и даже в астрономии.


  1. Кривые второго порядка
                                                             Гипербола — это единица на икс.
                                                             Из ответа на экзамене
  Определение 1. Пусть на плоскости задана прямая L и точка f , не лежащая на этой прямой.
Множество точек плоскости, равноудалённых от L и f , называется параболой. При этом пря-
мая L называется директрисой параболы, а точка f — её фокусом. Перпендикулярная директрисе
и проходящая через фокус прямая называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с
фокальной осью называется вершиной этой параболы.
  Расстояние p от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы, а чис-
ло p2 — фокусным расстоянием.
  Пример 1. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
                                          y 2 = 2px,             p > 0,                        (1)
является параболой с фокусом в точке f =            ( p2 , 0).
                                                   Директриса этой параболы — вертикальная
прямая, заданная уравнением x = − p2 , а фокальная ось — прямая y = 0.
  Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.
  Замечание 1. Если допустить, что фокус лежит на директрисе, то множество, описываемое
определением 1, превратится в прямую, перпендикулярную директрисе и проходящую через фо-
кус.
  Определение 2. Пусть f1 и f2 — точки плоскости. Множество точек, сумма расстояний от
которых до точек f1 и f2 постоянна и равна некоторому числу 2a, a > 0, называется эллипсом.
Точки f1 и f2 называются фокусами эллипса. Прямая, проходящая через фокусы, а также перпен-
дикулярная ей прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего фокусы, называются
фокальными осями эллипса.
  Если 2c — расстояние
                √       между фокусами, то число c называется эксцентриситетом 1 эллипса,
а числа a и b = a2 − c2 — его полуосями.
  Пример 2. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
                                 x2 y 2
                                    + 2 = 1,       a > b > 0,                                (2)
                                 a2    b
                                                                      √
является эллипсом. Его полуоси — это a и b, а эксцентриситет равен c = a2 − b2 . Если a 6= b, то
фокальными осями являются оси координат, а при a = b — любые пары взаимно перпендикуляр-
ных прямых, проходящих через начало координат.
  1Эксцентрисите́т — ударение на последнем слоге.
                                                        1