Плоские кривые. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
2. Кривые на плоскости
Рассмотрим теперь кривые общего вида.
Определение 7. Кривой на плоскости (или плоской кривой) называется множество точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению
F (x, y) = 0, (10)
где функция F такова, что хотя бы одна из производных F
′
x
и F
′
y
отлична от нуля в каждой точке
кривой.
Очевидно, рассмотренные в предыдущем параграфе кривые второго порядка являются плос-
кими кривым кривыми в смысле определения 7.
Пусть (x
0
, y
0
) — точка кривой. Прямая, задаваемая уравнением
F
′
x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) + F
′
y
(x
0
, y
0
)(y −y
0
) = 0, (11)
называется касательной к этой кривой в рассматриваемой точке. Прямая, задаваемая уравнением
F
′
y
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) − F
′
x
(x
0
, y
0
)(y − y
0
) = 0, (12)
называется нормалью к кривой в точке (x
0
, y
0
).
Пример 4. Рассмотрим параболу
y
2
= 2px,
заданную каноническим уравнением (1). Тогда в силу (11) имеем
y
0
(y − y
0
) = p(x − x
0
).
Соответственно, у равнением нормали к параболе является
p(y − y
0
) + y
0
(x − x
0
) = 0.
Пример 5. Рассмотрим эллипс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1,
заданный каноническим уравнением (2). Тогда
x
0
a
2
(x − x
0
) +
y
0
b
2
(y − y
0
) = 0
— уравнение касательной. Но точка (x
0
, y
0
) лежит на эллипсе. Поэтому уравнение касательной
приобретает вид
x
0
a
2
x +
y
0
b
2
y = 1.
При этом нормаль задаётся уравнением
y
0
b
2
x −
x
0
a
2
y =
1
b
2
−
1
a
2
x
0
y
0
.
Пример 6. Аналогично для гиперболы
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1,
заданной каноническим уравнением (3), касательная задаётся уравнением
x
0
a
2
x −
y
0
b
2
y = 1,
а нормаль — уравнением
y
0
b
2
x +
x
0
a
2
y =
1
a
2
+
1
b
2
x
0
y
0
.
4                                          ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

    2. Кривые на плоскости
    Рассмотрим теперь кривые общего вида.
  Определение 7. Кривой на плоскости (или плоской кривой) называется множество точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению
                                               F (x, y) = 0,                              (10)
где функция F такова, что хотя бы одна из производных Fx′ и Fy′ отлична от нуля в каждой точке
кривой.
  Очевидно, рассмотренные в предыдущем параграфе кривые второго порядка являются плос-
кими кривым кривыми в смысле определения 7.
  Пусть (x0 , y0 ) — точка кривой. Прямая, задаваемая уравнением
                            Fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0,        (11)
называется касательной к этой кривой в рассматриваемой точке. Прямая, задаваемая уравнением
                            Fy′ (x0 , y0 )(x − x0 ) − Fx′ (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0,        (12)
называется нормалью к кривой в точке (x0 , y0 ).
    Пример 4. Рассмотрим параболу
                                                 y 2 = 2px,
заданную каноническим уравнением (1). Тогда в силу (11) имеем
                                        y0 (y − y0 ) = p(x − x0 ).
Соответственно, уравнением нормали к параболе является
                                      p(y − y0 ) + y0 (x − x0 ) = 0.
    Пример 5. Рассмотрим эллипс
                                         x2 y 2
                                              + 2 = 1,
                                         a2     b
заданный каноническим уравнением (2). Тогда
                                x0              y0
                                 2
                                   (x − x0 ) + 2 (y − y0 ) = 0
                                a               b
— уравнение касательной. Но точка (x0 , y0 ) лежит на эллипсе. Поэтому уравнение касательной
приобретает вид
                                        x0      y0
                                         2
                                            x + 2 y = 1.
                                        a       b
При этом нормаль задаётся уравнением
                                y0      x0        1   1
                                   x −      y =     −    x0 y0 .
                                b2      a2        b2 a2
  Пример 6. Аналогично для гиперболы
                                        x2 y 2
                                            − 2 = 1,
                                        a2   b
заданной каноническим уравнением (3), касательная задаётся уравнением
                                      x0     y0
                                        2
                                          x − 2 y = 1,
                                       a      b
а нормаль — уравнением
                               y0     x0        1   1
                                2
                                  x + 2 y = 2 + 2 x0 y0 .
                               b       a        a   b

Страницы