ВУЗ:
Рубрика:
2 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.
Замечание 2. Если фокусы эллипса совпадают, то он превращается в окруж ность радиуса a и
тогда его фокальные оси не определены (см. пример 2). В случае, когда a = c, эллипс вырождается
в отрезок, соединяющий фокусы
2
, а если a < c, то множество точек эллипса пусто.
Определение 3. Пусть f
1
и f
2
— две не совпадающие между собой точки плоскости. Множе-
ство точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до точек f
1
и f
2
постоянна и
равна некоторому числу 2a, a > 0, называется гиперболой. Точки f
1
и f
2
называются фокусами
гиперболы. Прямая, проходящая через фокусы, называется фокальной осью, а перпендикулярная
ей прямая, проходящая через середину отрезка (эта середина называется центром гиперболы),
соединяющего фокусы, мни мой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с фокальной осью
называются вершинами этой гиперболы.
Если 2c — расстояние между фокусами, то число c называется эксцентриситетом гиперболы,
а числа a и b =
√
c
2
− a
2
— её действительной и мнимой полуосями соответственно.
Прямые, проходящие через центр гиперболы и образующие с фокальной осью углы, для кото-
рых tg α = ±
b
a
, называются асимптотами этой гиперболы.
Пример 3. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1, a > 0, b > 0, (3)
является гиперболой. Её фокальная ось совпадает с осью абсцисс, а мнимая — с осью ординат.
Действительная полуось этой гиперболы равна a, а мнимая — b. Фокусы гиперболы находятся в
точках (±c, 0), где c =
√
a
2
+ b
2
, а вершины — в точках (±a, 0). Уравнениями асимптот являют-
ся y = ±
b
a
x.
Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы.
Замечание 3. Если a = 0, то гипербола вырождается в два экземпляра прямой, проходящей
через середину отрезка, соединяющего фокусы, и перпендикулярной этому отрезку.
Оказывается, все перечисленные фигуры (парабола, эллипс и гипербола) можно задать в общем
и единообразном виде.
Определение 4. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2b
1
x + 2b
2
y + c = 0, (4)
где a
ij
, b
i
и c — действительные числа и хотя бы одно из чисел a
ij
отлично от нуля, называется
кривой второго порядка.
Как мы убедимся, перечисленными в определениях 1—3 фигурами исчерпываются все «инте-
ресные» кривые второго порядка.
Инварианты кривых второго порядка. О том, какую кривую задаёт уравнение (4 ), можно
судить по коэффициентам, находящимся в правой части этого уравнения.
Определение 5. Матрица
A =
a
11
a
12
a
12
a
22
(5)
называется характеристической матрицей кривой (4). Матрица
B =
a
11
a
12
b
1
a
12
a
22
b
2
b
1
b
2
c
(6)
называется расширенной характеристической матрицей.
2
Точнее было бы сказать, что он вырождается в две копии этого отрезка.
2 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.
Замечание 2. Если фокусы эллипса совпадают, то он превращается в окружность радиуса a и
тогда его фокальные оси не определены (см. пример 2). В случае, когда a = c, эллипс вырождается
в отрезок, соединяющий фокусы2, а если a < c, то множество точек эллипса пусто.
Определение 3. Пусть f1 и f2 — две не совпадающие между собой точки плоскости. Множе-
ство точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до точек f1 и f2 постоянна и
равна некоторому числу 2a, a > 0, называется гиперболой. Точки f1 и f2 называются фокусами
гиперболы. Прямая, проходящая через фокусы, называется фокальной осью, а перпендикулярная
ей прямая, проходящая через середину отрезка (эта середина называется центром гиперболы),
соединяющего фокусы, мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с фокальной осью
называются вершинами этой гиперболы.
Если 2c — расстояние
√ между фокусами, то число c называется эксцентриситетом гиперболы,
а числа a и b = c2 − a2 — её действительной и мнимой полуосями соответственно.
Прямые, проходящие через центр гиперболы и образующие с фокальной осью углы, для кото-
рых tg α = ± ab , называются асимптотами этой гиперболы.
Пример 3. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
x2 y 2
− 2 = 1, a > 0, b > 0, (3)
a2 b
является гиперболой. Её фокальная ось совпадает с осью абсцисс, а мнимая — с осью ординат.
Действительная полуось √ этой гиперболы равна a, а мнимая — b. Фокусы гиперболы находятся в
точках (±c, 0), где c = a2 + b2 , а вершины — в точках (±a, 0). Уравнениями асимптот являют-
ся y = ± ab x.
Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы.
Замечание 3. Если a = 0, то гипербола вырождается в два экземпляра прямой, проходящей
через середину отрезка, соединяющего фокусы, и перпендикулярной этому отрезку.
Оказывается, все перечисленные фигуры (парабола, эллипс и гипербола) можно задать в общем
и единообразном виде.
Определение 4. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2b1 x + 2b2 y + c = 0, (4)
где aij , bi и c — действительные числа и хотя бы одно из чисел aij отлично от нуля, называется
кривой второго порядка.
Как мы убедимся, перечисленными в определениях 1—3 фигурами исчерпываются все «инте-
ресные» кривые второго порядка.
Инварианты кривых второго порядка. О том, какую кривую задаёт уравнение (4), можно
судить по коэффициентам, находящимся в правой части этого уравнения.
Определение 5. Матрица
a11 a12
A= (5)
a12 a22
называется характеристической матрицей кривой (4). Матрица
a11 a12 b1
B = a12 a22 b2 (6)
b1 b2 c
называется расширенной характеристической матрицей.
2Точнее было бы сказать, что он вырождается в две копии этого отрезка.
