Плоские кривые. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 5
Параметрическое задание кривой. При описании кривых часто бывает удобным ввести до-
полнительную переменную (например, t — её обозначение, конечно, не играет роли) таким обра-
зом, что переменные x и y становятся функциями, зависящими от t:
x = x(t), y = y(t), (13)
а уравнение F (x(t), y(t)) = 0 выполняется тождественно при любых допустимых значениях t. Та-
кое задание кривой называется параметрическим, а переменная t называется параметром кри-
вой.
Пример 7. Чтобы задать параметрически эллипс (2), положим
x = a cos t, y = b sin t. (14)
В частности, при a = b мы получаем параметрическое уравнение окружности радиуса a и с
центром в начале координат.
Пример 8. Для параметрического задания гиперболы тригонометрические функции cos t и sin t,
как легко у бедиться, не подходят. Вместо них рассматривают функции
ch t =
e
x
+ e
−x
2
(15)
и
sh t =
e
x
−e
−x
2
. (16)
Тогда уравнения
x = a ch t, y = b sh t (17)
являются параметрическими уравнения ми гиперболы. По понятным причинам функции (15) и (16)
называются ги перболическим косинусом и гиперболическим си нусом соответственно.
Замечание 4 (о гиперболических функциях). Гиперболи ческий тангенс
th t =
sh t
ch t
=
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
(18)
и гиперболический котангенс
cth =
ch t
sh t
=
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
(19)
определяются по аналогии с соответствующими тригонометрическими функциями.
Гиперболические функции обладают свойствами, очень похожими на свойства тригонометри-
ческих функций:
ch
2
x − sh
2
x = 1, (20)
th x · cth x = 1, (21)
sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y, (22)
ch(x ±y) = ch x ch y ± sh x sh y, (23)
th(x ± y) =
th x ± th y
1 ± th x th y
, (24)
sh x ± sh y = 2 sh
x ± y
2
ch
x ∓ y
2
, (25)
ch x + ch y = 2 ch
x + y
2
ch
x − y
2
, (26)
ch x − ch y = 2 sh
x + y
2
sh
x − y
2
, (27)
а также ещё одним замечательным свойством
(ch x ± sh x)
n
= ch nx ± sh nx, (28)
                                        ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ                                      5

Параметрическое задание кривой. При описании кривых часто бывает удобным ввести до-
полнительную переменную (например, t — её обозначение, конечно, не играет роли) таким обра-
зом, что переменные x и y становятся функциями, зависящими от t:
                                      x = x(t),         y = y(t),                        (13)
а уравнение F (x(t), y(t)) = 0 выполняется тождественно при любых допустимых значениях t. Та-
кое задание кривой называется параметрическим, а переменная t называется параметром кри-
вой.
    Пример 7. Чтобы задать параметрически эллипс (2), положим
                                    x = a cos t,        y = b sin t.                     (14)
В частности, при a = b мы получаем параметрическое уравнение окружности радиуса a и с
центром в начале координат.
  Пример 8. Для параметрического задания гиперболы тригонометрические функции cos t и sin t,
как легко убедиться, не подходят. Вместо них рассматривают функции
                                                     ex + e−x
                                          ch t =                                         (15)
                                                         2
и
                                                   ex − e−x
                                          sh t =            .                            (16)
                                                       2
Тогда уравнения
                                 x = a ch t,   y = b sh t                           (17)
являются параметрическими уравнениями гиперболы. По понятным причинам функции (15) и (16)
называются гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом соответственно.
    Замечание 4 (о гиперболических функциях). Гиперболический тангенс
                                               sh t  ex − e−x
                                      th t =        = x                                  (18)
                                               ch t  e + e−x
и гиперболический котангенс
                                        ch t  ex + e−x
                                       cth = = x                                   (19)
                                        sh t  e − e−x
определяются по аналогии с соответствующими тригонометрическими функциями.
  Гиперболические функции обладают свойствами, очень похожими на свойства тригонометри-
ческих функций:
                                 ch2 x − sh2 x = 1,                                      (20)
                                 th x · cth x = 1,                                       (21)
                                 sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y,                      (22)
                              ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y,                         (23)
                                            th x ± th y
                              th(x ± y) =                ,                               (24)
                                           1 ± th x th y
                                                 x±y       x∓y
                              sh x ± sh y = 2 sh        ch       ,                       (25)
                                                   2        2
                                                 x+y       x−y
                              ch x + ch y = 2 ch        ch       ,                       (26)
                                                   2        2
                                                 x+y       x−y
                              ch x − ch y = 2 sh        sh       ,                       (27)
                                                   2        2
а также ещё одним замечательным свойством
                                 (ch x ± sh x)n = ch nx ± sh nx,                         (28)

Страницы