Плоские кривые. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 7
Пусть (x
0
, y
0
) — неособая точка. Тогда в этой точке можно рассмотреть два вектора —
v
e
=
˙x
|v|
,
˙y
|v|
, n
e
=
−˙y
|v|
,
˙x
|v|
,
где |v| =
p
˙x
2
+ ˙y
2
— длина вектора скорости. Первый из них имеет единичную длину и сона-
правлен вектору скорости, а второй также имеет единичную длину, но перпендикулярен первому
(т.е. направлен вдоль нормали к кривой). Поэтому любой вектор, приложенный к рассматривае-
мой точке, можно единственным образом представить в виде αv
e
+ βn
e
. В частности, так можно
представить вектор ускорения:
a =
˙x¨x + ˙y¨y
|v|
v
e
+
˙x¨y − ˙y¨x
|v|
n
e
. (36)
Первое слагаемое в представлении (36) называется т ангенциальным (или касательным) ускоре-
нием, а второе — нормальным (или центро б е жным). Таким образом, касательное ускорение по
величине равно
|a
v
| =
˙x¨x + ˙y¨y
p
˙x
2
+ ˙y
2
, (37)
а нормальное —
|a
n
| =
˙x¨y − ˙y¨x
p
˙x
2
+ ˙y
2
. (38)
Пример 9. Вновь рассмотрим эллипс, заданный параметрически уравнениями (14). Тогда в
каждый момент t его скорость есть
˙x = −a sin t, ˙y = b cos t,
а ускорение —
¨x = −a cos t , ¨y = −b sin t
(заметим, что ускорение направлено от рассматриваемой точки к началу координат). Поэтому, в
силу равенств (37) и (38), касательное и нормальное ускорения равны
|a
v
| =
a
2
− b
2
p
a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t
sin t cos t
и
|a
n
| =
ab
p
a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t
соответственно. В частности, для произвольной окружности радиуса R имеем
|a
v
| = 0, |a
n
| = R,
т.е. в этом случае тангенциальное ускорение всегда равно нулю, а нормальное постоянно и равно
радиусу окружности.
Замечание 6. Рассмотренные выше скорость и ускорение являются характеристиками не толь-
ко кривой (как геометрического места точек плоскости), но и её параметризации. Например, урав-
нения
x = a cos 2t, y = b sin 2t,
как уже отмечалось, задают тот же самый эллипс, что и (14), но, как легко убедиться, векторы
скорости и ускорения будут для этой параметризации отличаться от тех, которые были получены
в примере 9.
                                       ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ                                        7

   Пусть (x0 , y0 ) — неособая точка. Тогда в этой точке можно рассмотреть два вектора —
                                       ẋ ẏ             −ẏ ẋ 
                                 ve =     ,     ,    ne =      ,    ,
                                       |v| |v|              |v| |v|
           p
где |v| = ẋ2 + ẏ 2 — длина вектора скорости. Первый из них имеет единичную длину и сона-
правлен вектору скорости, а второй также имеет единичную длину, но перпендикулярен первому
(т.е. направлен вдоль нормали к кривой). Поэтому любой вектор, приложенный к рассматривае-
мой точке, можно единственным образом представить в виде αve + βne . В частности, так можно
представить вектор ускорения:
                                      ẋẍ + ẏ ÿ      ẋÿ − ẏ ẍ
                                 a=                ve +              ne .                 (36)
                                          |v|               |v|
Первое слагаемое в представлении (36) называется тангенциальным (или касательным) ускоре-
нием, а второе — нормальным (или центробежным). Таким образом, касательное ускорение по
величине равно
                                              ẋẍ + ẏ ÿ
                                      |av | = p            ,                         (37)
                                                ẋ2 + ẏ 2
а нормальное —
                                              ẋÿ − ẏ ẍ
                                      |an | = p            .                         (38)
                                                ẋ2 + ẏ 2
  Пример 9. Вновь рассмотрим эллипс, заданный параметрически уравнениями (14). Тогда в
каждый момент t его скорость есть
                                  ẋ = −a sin t,          ẏ = b cos t,
а ускорение —
                                 ẍ = −a cos t,           ÿ = −b sin t
(заметим, что ускорение направлено от рассматриваемой точки к началу координат). Поэтому, в
силу равенств (37) и (38), касательное и нормальное ускорения равны
                                               a2 − b2
                              |av | = p                           sin t cos t
                                          a2 sin2 t + b2 cos2 t
и
                                                         ab
                                  |an | = p
                                                     2
                                          a2 sin t + b2 cos2 t
соответственно. В частности, для произвольной окружности радиуса R имеем
                                    |av | = 0,           |an | = R,
т.е. в этом случае тангенциальное ускорение всегда равно нулю, а нормальное постоянно и равно
радиусу окружности.

  Замечание 6. Рассмотренные выше скорость и ускорение являются характеристиками не толь-
ко кривой (как геометрического места точек плоскости), но и её параметризации. Например, урав-
нения
                                  x = a cos 2t,  y = b sin 2t,
как уже отмечалось, задают тот же самый эллипс, что и (14), но, как легко убедиться, векторы
скорости и ускорения будут для этой параметризации отличаться от тех, которые были получены
в примере 9.

Страницы