ВУЗ:
Рубрика:
ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 9
а формулы (37), (38), (44) и (45) примут соответственно вид
|a
v
| =
y
′
y
′′
p
1 + (y
′
)
2
, |a
n
| =
y
′′
p
1 + (y
′
)
2
; (47)
k =
y
′′
(1 + (y
′
)
2
)
3
2
, ρ =
(1 + (y
′
)
2
)
3
2
y
′′
. (48)
Замечание 9 (о пространственных кривых). Понятие кривой можно обобщить на простран-
ственный случай. Такие кривые наиболее удобно описывать в п араметрической форме:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Например, равенства
x = cos t, y = sin t, z = t
описывают бесконечную спираль, которая «разматывается» вдоль оси Z над единичной окруж-
ностью, лежащей в плоскости XY .
Естественно, пространственные кривые, как и плоские, являются объектом математического
анализа, однако их изучение выходит за рамки настоящего курса.
3. Полярные координаты
До сих пор мы задавали положение точки на плоскости, указывая её проекции на оси абсцисс
и ординат. Эти проекции называются декартовыми, или прямоугольными координатами точки.
Однако однозначно определить положение точки можно не только с помощью её декартовых
координат. Например, если указать длину r отрезка, соединяющего точку с началом координат, и
величину угла ϕ, который этот отрезок образует осью абсцисс, то мы также однозначно определим
положение точки
4
. Такие координаты называются полярными. Переход от декартовых координат
к полярным описывается формулами
r =
p
x
2
+ y
2
, ϕ = arctg
y
x
, (49)
а обратный — формулами
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (50)
Замечание 10. Очевидно, в качестве начала полярных координат можно выбрать любую точ-
ку плоскости — скажем, с декартовыми координатами (x
0
, y
0
). В этом случае замена коорди-
нат (50) будет иметь вид
x = x
0
+ r cos ϕ, y = y
0
+ r sin ϕ. (51)
Пример 11. В качестве примера выведем полярных координатах уравнения кривых второго
порядка, используя их канонические уравнения в декартовых координатах.
Парабола. Выберем начало полярных координат в фокусе параболы, т.е. положим
x =
p
2
+ r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Подставляя эти выражения в каноническое уравнение параболы
y
2
= 2px,
получаем
sin
2
ϕ · r
2
− 2p cos ϕ · r − p
2
= 0.
Это — квадратное уравнение относительно полярного радиуса. Решая его и принимая во внима-
ние, что r > 0, получает
r =
p
1 − cos ϕ
. (52)
4
Величина r называется полярным радиусом, а ϕ — полярным углом.
ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 9
а формулы (37), (38), (44) и (45) примут соответственно вид
y ′ y ′′ y ′′
|av | = p , |an | = p ; (47)
1 + (y ′ )2 1 + (y ′ )2
3
y ′′ (1 + (y ′ )2 ) 2
k= 3 , ρ= . (48)
(1 + (y ′ )2 ) 2 y ′′
Замечание 9 (о пространственных кривых). Понятие кривой можно обобщить на простран-
ственный случай. Такие кривые наиболее удобно описывать в параметрической форме:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Например, равенства
x = cos t, y = sin t, z = t
описывают бесконечную спираль, которая «разматывается» вдоль оси Z над единичной окруж-
ностью, лежащей в плоскости XY .
Естественно, пространственные кривые, как и плоские, являются объектом математического
анализа, однако их изучение выходит за рамки настоящего курса.
3. Полярные координаты
До сих пор мы задавали положение точки на плоскости, указывая её проекции на оси абсцисс
и ординат. Эти проекции называются декартовыми, или прямоугольными координатами точки.
Однако однозначно определить положение точки можно не только с помощью её декартовых
координат. Например, если указать длину r отрезка, соединяющего точку с началом координат, и
величину угла ϕ, который этот отрезок образует осью абсцисс, то мы также однозначно определим
положение точки4. Такие координаты называются полярными. Переход от декартовых координат
к полярным описывается формулами
p y
r = x2 + y 2 , ϕ = arctg , (49)
x
а обратный — формулами
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (50)
Замечание 10. Очевидно, в качестве начала полярных координат можно выбрать любую точ-
ку плоскости — скажем, с декартовыми координатами (x0 , y0 ). В этом случае замена коорди-
нат (50) будет иметь вид
x = x0 + r cos ϕ, y = y0 + r sin ϕ. (51)
Пример 11. В качестве примера выведем полярных координатах уравнения кривых второго
порядка, используя их канонические уравнения в декартовых координатах.
Парабола. Выберем начало полярных координат в фокусе параболы, т.е. положим
p
x = + r cos ϕ, y = r sin ϕ.
2
Подставляя эти выражения в каноническое уравнение параболы
y 2 = 2px,
получаем
sin2 ϕ · r 2 − 2p cos ϕ · r − p2 = 0.
Это — квадратное уравнение относительно полярного радиуса. Решая его и принимая во внима-
ние, что r > 0, получает
p
r= . (52)
1 − cos ϕ
4Величина r называется полярным радиусом, а ϕ — полярным углом.
