Плоские кривые. - 9 стр.

UptoLike

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 9
а формулы (37), (38), (44) и (45) примут соответственно вид
|a
v
| =
y
y
′′
p
1 + (y
)
2
, |a
n
| =
y
′′
p
1 + (y
)
2
; (47)
k =
y
′′
(1 + (y
)
2
)
3
2
, ρ =
(1 + (y
)
2
)
3
2
y
′′
. (48)
Замечание 9 пространственных кривых). Понятие кривой можно обобщить на простран-
ственный случай. Такие кривые наиболее удобно описывать в п араметрической форме:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Например, равенства
x = cos t, y = sin t, z = t
описывают бесконечную спираль, которая «разматывается» вдоль оси Z над единичной окруж-
ностью, лежащей в плоскости XY .
Естественно, пространственные кривые, как и плоские, являются объектом математического
анализа, однако их изучение выходит за рамки настоящего курса.
3. Полярные координаты
До сих пор мы задавали положение точки на плоскости, указывая её проекции на оси абсцисс
и ординат. Эти проекции называются декартовыми, или прямоугольными координатами точки.
Однако однозначно определить положение точки можно не только с помощью её декартовых
координат. Например, если указать длину r отрезка, соединяющего точку с началом координат, и
величину угла ϕ, который этот отрезок образует осью абсцисс, то мы также однозначно определим
положение точки
4
. Такие координаты называются полярными. Переход от декартовых координат
к полярным описывается формулами
r =
p
x
2
+ y
2
, ϕ = arctg
y
x
, (49)
а обратный формулами
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (50)
Замечание 10. Очевидно, в качестве начала полярных координат можно выбрать любую точ-
ку плоскости скажем, с декартовыми координатами (x
0
, y
0
). В этом случае замена коорди-
нат (50) будет иметь вид
x = x
0
+ r cos ϕ, y = y
0
+ r sin ϕ. (51)
Пример 11. В качестве примера выведем полярных координатах уравнения кривых второго
порядка, используя их канонические уравнения в декартовых координатах.
Парабола. Выберем начало полярных координат в фокусе параболы, т.е. положим
x =
p
2
+ r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Подставляя эти выражения в каноническое уравнение параболы
y
2
= 2px,
получаем
sin
2
ϕ · r
2
2p cos ϕ · r p
2
= 0.
Это квадратное уравнение относительно полярного радиуса. Решая его и принимая во внима-
ние, что r > 0, получает
r =
p
1 cos ϕ
. (52)
4
Величина r называется полярным радиусом, а ϕ полярным углом.
                                                         ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ                                      9

а формулы (37), (38), (44) и (45) примут соответственно вид
                                  y ′ y ′′                                                y ′′
                     |av | = p                       ,                      |an | = p                 ;   (47)
                                 1 + (y ′ )2                                            1 + (y ′ )2
                                                                                                 3
                                 y ′′                                          (1 + (y ′ )2 ) 2
                     k=                      3   ,                          ρ=                  .         (48)
                          (1 + (y ′ )2 ) 2                                          y ′′
  Замечание 9 (о пространственных кривых). Понятие кривой можно обобщить на простран-
ственный случай. Такие кривые наиболее удобно описывать в параметрической форме:
                                        x = x(t),           y = y(t),    z = z(t).
Например, равенства
                                 x = cos t, y = sin t, z = t
описывают бесконечную спираль, которая «разматывается» вдоль оси Z над единичной окруж-
ностью, лежащей в плоскости XY .
  Естественно, пространственные кривые, как и плоские, являются объектом математического
анализа, однако их изучение выходит за рамки настоящего курса.


  3. Полярные координаты
   До сих пор мы задавали положение точки на плоскости, указывая её проекции на оси абсцисс
и ординат. Эти проекции называются декартовыми, или прямоугольными координатами точки.
Однако однозначно определить положение точки можно не только с помощью её декартовых
координат. Например, если указать длину r отрезка, соединяющего точку с началом координат, и
величину угла ϕ, который этот отрезок образует осью абсцисс, то мы также однозначно определим
положение точки4. Такие координаты называются полярными. Переход от декартовых координат
к полярным описывается формулами
                                    p                          y
                                r = x2 + y 2 ,     ϕ = arctg ,                            (49)
                                                               x
а обратный — формулами
                                  x = r cos ϕ,    y = r sin ϕ.                            (50)
  Замечание 10. Очевидно, в качестве начала полярных координат можно выбрать любую точ-
ку плоскости — скажем, с декартовыми координатами (x0 , y0 ). В этом случае замена коорди-
нат (50) будет иметь вид
                           x = x0 + r cos ϕ,   y = y0 + r sin ϕ.                      (51)
  Пример 11. В качестве примера выведем полярных координатах уравнения кривых второго
порядка, используя их канонические уравнения в декартовых координатах.
Парабола. Выберем начало полярных координат в фокусе параболы, т.е. положим
                                  p
                              x = + r cos ϕ,    y = r sin ϕ.
                                  2
Подставляя эти выражения в каноническое уравнение параболы
                                                            y 2 = 2px,
получаем
                              sin2 ϕ · r 2 − 2p cos ϕ · r − p2 = 0.
Это — квадратное уравнение относительно полярного радиуса. Решая его и принимая во внима-
ние, что r > 0, получает
                                                  p
                                          r=             .                            (52)
                                              1 − cos ϕ
  4Величина r называется полярным радиусом, а ϕ — полярным углом.